普吕克坐标

数学上，普吕克坐标是将射影三维空间中的每条线给予6个齐次坐标，也就是一个射影5维空间中的一点。普吕克坐标由尤利乌斯·普吕克于1844年给出。

定义

令L为一直线，穿过点$p(x_{0},x_{1},x_{2},x_{3})$和点$q(y_{0},y_{1},y_{2},y_{3})$。

定义$p_{ij}$为${\begin{pmatrix}x_{i}&x_{j}\\y_{i}&y_{j}\end{pmatrix}}=x_{i}y_{j}-x_{j}y_{i}$的行列式。

这蕴涵着$p_{ii}=0$和$p_{ij}=-p_{ji}$.

考虑六元组$(p_{01},p_{02},p_{03},p_{23},p_{31},p_{12})$。不是所有6个都可以同时为0，因为如果是的话，所有${\begin{pmatrix}x_{0}&x_{1}&x_{2}&x_{3}\\y_{0}&y_{1}&y_{2}&y_{3}\end{pmatrix}}$的$2\times 2$子矩阵都是零，则该矩阵最多秩为1，这个p及q为不同点的假设不符。

p和q的选取对于6元组的影响只是一个非零因子，如下所示：

考虑$p'(x'_{0},x'_{1},x'_{2},x'_{3})$和$q'(y'_{0},y'_{1},y'_{2},y'_{3})$为L上不同点，其中$x'_{i}=k_{1}x_{i}+l_{1}y_{i}$而$y'_{i}=k_{2}x_{i}+l_{2}y_{i}$。 p'和q'不同的假设归结为$k_{1}l_{2}-k_{2}l_{1}\neq 0$。 可以检验：${\begin{pmatrix}x'_{i}&x'_{j}\\y'_{i}&y'_{j}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}k_{1}&l_{1}\\k_{2}&l_{2}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x_{i}&x_{j}\\y_{i}&y_{j}\end{pmatrix}}$ 这样，$(p'_{01},p'_{02},p'_{03},p'_{23},p'_{31},p'_{12})=(k_{1}l_{2}-k_{2}l_{1})(p_{01},p_{02},p_{03},p_{23},p_{31},p_{12})$

称W为所有PG(3,K)中的直线的集合。我们现在恰当地定义一个映射$\alpha$：从W到一个K上的5维射影空间： $\alpha :W\rightarrow PG(5,K):L\rightarrow L^{\alpha }=(p_{01},p_{02},p_{03},p_{23},p_{31},p_{12})$