逻辑等价

在逻辑中，陈述p和q是逻辑等价的，如果它们有相同的逻辑内容。

p和q是语法等价的，如果每个都可以证明自另一个。p和q是语义等价的，如果它们在所有模型中有相同的真值。

逻辑等价经常混淆于实质等价。前者是在元语言中的一个陈述，断言关于目标语言中的陈述p和q的某个事情。而p和q的实质等价（常写为"p ↔ q"）自身是在目标语言中另一个陈述。但它们是有联系的，p和q是语法等价的，当且仅当p ↔ q是一个定理，而p和q是语义等价的，当且仅当p ↔ q是重言式。

逻辑等价有时表示为p ≡ q或p ⇔ q。但是，后者记号也用于实质等价。

逻辑等价公式

等价关系	关系名称
p∧T≡p p∨F≡p	Identity laws 恒等律
p∨T≡T p∧F≡F	Domination laws 支配律
p∨p≡p p∧p≡p	Idempotent laws 幂等律
﹁(﹁p)≡p	Double negation laws 双非律
p∨q≡q∨p p∧q≡q∧p	Commutative laws 交换律
(p∨q)∨r≡p∨(q∨r) (p∧q)∧r≡p∧(q∧r)	Associative laws 结合律
p∨(q∧r)≡(p∨q)∧(p∨r) p∧(q∨r)≡(p∧q)∨(p∧r)	Distributive laws 分配律
﹁(p∧q)≡﹁p∨﹁q ﹁(p∨q)≡﹁p∧﹁q	De Morgan's laws 德摩根律
p∨(p∧q)≡p p∧(p∨q)≡p	Absorption laws 吸收律
p∨﹁p≡T p∧﹁p≡F	Negation laws 否定律

包括蕴涵的逻辑等价：

1. p→q≡﹁p∨q
   
2. p→q≡﹁q→﹁p
   
3. p∨q≡﹁p→q
   
4. p∧q≡﹁(p→﹁q)
   
5. ﹁(p→q)≡p∧﹁q
   
6. (p→q)∧(p→r)≡p→(q∧r)
   
7. (p→q)∨(p→r)≡p→(q∨r)
   
8. (p→r)∧(q→r)≡(p∨q)→r
   
9. (p→r)∨(q→r)≡(p∧q)→r
   

包含双蕴涵（逻辑双条件）的逻辑等价：

1. p↔q≡(p→q)∧(q→p)
   
2. p↔q≡﹁p↔﹁q
   
3. p↔q≡(p∧q)∨(﹁p∧﹁q)
   
4. ﹁(p↔q)≡p↔﹁q
   

例子

John高于Fred≡≡（等价于）≡≡Fred矮于John。

参见

• 逻辑双条件
• 蕴涵
• 等价符号