除以0時計算器的錯誤
在數學 中,被除數 的除數 (分母 )是零 或將某數除以零 ,可表達為
a
0
{\displaystyle {\frac {a}{0}}}
,
a
{\displaystyle a}
是被除數。在算式中沒有意義,因為沒有數目 ,以零相乘(假設
a
≠
0
{\displaystyle a\neq 0}
),由於任何數字乘以零均等於零,因此除以零是一個沒有定義 的值。此式是否成立端視其在如何的數學 設定下計算 。一般實數 算術中,此式為無意義 。在程序設計 中,當遇上正整數 除以零程序會中止,正如浮點數 會出現無限大或NaN 值的情況,而在Microsoft Excel 及Openoffice 或Libreoffice 的Calc 中,除以零會直接顯示#DIV/0!
。
基本算術中,除法 指將一個集合 中的物件分成若干等份。例如,
10
{\displaystyle 10}
個蘋果平分給
5
{\displaystyle 5}
人,每人可得
10
5
=
2
{\displaystyle {\frac {10}{5}}=2}
個蘋果。同理,
10
{\displaystyle 10}
個蘋果只分給
1
{\displaystyle 1}
人,則其可獨得
10
1
=
10
{\displaystyle {\frac {10}{1}}=10}
個蘋果。
若除以
0
{\displaystyle 0}
又如何?若有
10
{\displaystyle 10}
顆蘋果,無人(
0
{\displaystyle 0}
解作沒有)來分,每「人」可得多少蘋果?問題本身是無意義的,因根本無人來,論每「人」可得多少,根本多餘。因此,
10
0
{\displaystyle {\frac {10}{0}}}
,在基本算術中,是無意義或未下定義的。
另種解釋是將除法理解為不斷的減法 。例如「
13
{\displaystyle 13}
除以
5
{\displaystyle 5}
」,換一種說法,
13
{\displaystyle 13}
減去兩個
5
{\displaystyle 5}
,餘下
3
{\displaystyle 3}
,即被除數一直減去除數直至餘數 數值低於除數,算式為
13
5
=
2
{\displaystyle {\frac {13}{5}}=2}
餘數
3
{\displaystyle 3}
。若某數除以零,就算不斷減去零,餘數也不可能小於除數,使得算式與無窮 拉上關係,超出基本算術的範疇。此解釋也有一問題,即為無窮大 乘 以零仍是零。
婆羅摩笈多 (598–668年)的著作《婆羅摩曆算書 》被視為最早討論零的數學和定義涉及零的算式的文本。但當中對除以零的論述並不正確,根據婆羅摩笈多所說,
“
一個正或負整數除以零,成為以零為分母的分數。零除以正或負整數是零或以零為分子、該正或負整數為分母的分數。零除以零是零。
”
830年,另一位數學家摩訶吠羅 在其著作《Ganita Sara Samgraha 》試圖糾正婆羅摩笈多的錯誤,但不成功:
婆什迦羅第二 嘗試解決此問題,答案是讓
n
0
=
∞
{\displaystyle {\frac {n}{0}}=\infty }
。雖然此定義有一定道理,但會導致一个悖論:
0
×
∞
{\displaystyle 0\times \infty }
的结果可以是任意一个数,所以所有的数都是相同的。[ 1]
在微積分 和数学分析 中,像
0
×
∞
{\displaystyle 0\times \infty }
或
0
0
{\displaystyle {\frac {0}{0}}}
這一類極限 稱為不定型 。不定型是可以計算的,結果可能是任意数。
安卓 手機計算器除以0顯示無限大
若某數學系統遵從域 的公理,則在該數學系統內除以零必須為沒有意義。這是因為除法被定義為是乘法 的逆向操作,即
a
b
{\displaystyle {\frac {a}{b}}}
值是方程
b
x
=
a
{\displaystyle bx=a}
中
x
{\displaystyle x}
的解(若有的話)。若設
b
=
0
{\displaystyle b=0}
,方程式
b
x
=
a
{\displaystyle bx=a}
可寫成
0
×
x
=
a
{\displaystyle 0\times x=a}
或直接
0
=
a
{\displaystyle 0=a}
。因此,方程式
b
x
=
a
{\displaystyle bx=a}
沒有解(当
a
≠
0
{\displaystyle a\neq 0}
时),但
x
{\displaystyle x}
是任何數值也可解此方程(当
a
=
0
{\displaystyle a=0}
时)。在各自情況下均沒有獨一無二的數值,所以
a
b
{\displaystyle {\frac {a}{b}}}
未能下定義。
在代數運算中不當使用除以零可得出無效證明 :
2
=
1
{\displaystyle 2=1}
式:
0
a
=
0
{\displaystyle 0a=0}
試:
a
=
1
{\displaystyle a=1}
:正確
a
=
2
{\displaystyle a=2}
:正確
得出:
0
×
1
=
0
×
2
{\displaystyle 0\times 1=0\times 2}
除以零得出
0
0
×
1
=
2
{\displaystyle {\frac {0}{0}}\times 1=2}
簡化,得出:
1
=
2
{\displaystyle 1=2\,}
以上謬論 假設,某數除以0是容許的,並且
0
0
=
1
{\displaystyle {\frac {0}{0}}=1}
。
另一个简洁的证明
設
a
=
b
{\displaystyle a=b}
,則
a
2
=
a
b
{\displaystyle a^{2}=ab}
兩邊同時减去
b
2
{\displaystyle b^{2}}
,由平方差公式 得
(
a
+
b
)
(
a
−
b
)
=
b
(
a
−
b
)
{\displaystyle (a+b)(a-b)=b(a-b)}
兩邊除以
(
a
−
b
)
{\displaystyle (a-b)}
,
a
+
b
=
b
{\displaystyle a+b=b}
故
a
=
0
{\displaystyle a=0}
。
通过上面的過程,证明了一切数字等于
0
{\displaystyle 0}
。此謬論是由於簡化的过程不正確,計算過程使用了「除以零」。
因為
(
a
−
b
)
{\displaystyle (a-b)}
是零,所以不能夠把左右兩邊的
(
a
−
b
)
{\displaystyle (a-b)}
刪去。
在矩陣 代數或線性代數 中,可定義一種虛假的除法,設
a
b
=
a
b
+
{\displaystyle {\frac {a}{b}}=ab^{+}}
,當中
b
+
{\displaystyle b^{+}}
代表
b
{\displaystyle b}
的虛構倒數。這樣,若
b
−
{\displaystyle b^{-}}
存在,則
b
+
=
b
−
{\displaystyle b^{+}=b^{-}}
。若
b
=
0
{\displaystyle b=0}
,則
0
+
=
0
{\displaystyle 0^{+}=0}
;參見广义逆 。
函數
f
(
x
)
=
1
x
{\displaystyle f(x)={\frac {1}{x}}}
的圖像。當x趨向0,左極限和右極限分別趨向負無限及正無限。
表面看來,可以藉着考慮隨着
b
{\displaystyle b}
趨向
0
{\displaystyle 0}
的
a
b
{\displaystyle {\frac {a}{b}}}
來定義「除以零」。
對於任何正數
a
{\displaystyle a}
,右極限是
lim
b
→
0
+
a
b
=
+
∞
{\displaystyle \lim _{b\to 0^{+}}{a \over b}={+}\infty }
另一方面,左極限是
lim
b
→
0
−
a
b
=
−
∞
{\displaystyle \lim _{b\to 0^{-}}{a \over b}={-}\infty }
由於左極限及右極限不相同,因此函數在
x
=
0
{\displaystyle x=0}
的極限不存在,該點沒有定義。同樣地,若
a
{\displaystyle a}
是負數,極限也不存在。
如果分子及分母均為零或趨向零,則可使用洛必達法則 計算。
不定型 (Indeterminate Form)的極限可透過四则运算 或洛必達法則 計算。
考慮函數
f
(
x
)
=
x
2
−
9
x
−
3
{\displaystyle f(x)={\frac {x^{2}-9}{x-3}}}
如果直接代入
x
=
3
{\displaystyle x=3}
,會得到零除以零,這是沒有意義的。
f
(
3
)
=
3
2
−
9
3
−
3
=
0
0
{\displaystyle f(3)={\frac {3^{2}-9}{3-3}}={\frac {0}{0}}}
但透過約簡分子及分母,該點的極限是可以計算的。
lim
x
→
3
x
2
−
9
x
−
3
=
lim
x
→
3
(
x
+
3
)
(
x
−
3
)
x
−
3
=
lim
x
→
3
x
+
3
=
6
{\displaystyle \lim _{x\to 3}{\frac {x^{2}-9}{x-3}}=\lim _{x\to 3}{\frac {(x+3)(x-3)}{x-3}}=\lim _{x\to 3}x+3=6}
此外,函數的極限可透過洛必達法則 計算。
lim
x
→
c
f
(
x
)
g
(
x
)
=
lim
x
→
c
f
′
(
x
)
g
′
(
x
)
{\displaystyle \lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}=\lim _{x\to c}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}}
若隨着
x
{\displaystyle x}
趨向
0
{\displaystyle 0}
,
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
與
g
(
x
)
{\displaystyle g(x)}
均趨向
0
{\displaystyle 0}
,該極限可等於任何實數或無限,或者根本不存在,視乎
f
{\displaystyle f}
及
g
{\displaystyle g}
是何函數。
運用形式推算 ,正號、負號或沒有正負號因情況而定,除以零定義為:
lim
x
→
0
1
x
=
lim
x
→
0
1
lim
x
→
0
x
=
∞
.
{\displaystyle \lim \limits _{x\to 0}{{\frac {1}{x}}={\frac {\lim \limits _{x\to 0}{1}}{\lim \limits _{x\to 0}{x}}}}=\infty .}
集合
C
∪
{
∞
}
{\displaystyle \mathbb {C} \cup \{\infty \}}
為黎曼球 (Riemann sphere ),在複分析 中相當重要。
在计算机中,除以零的结果根据编程语言、软硬件环境、数据类型、数值而不同。部分语言中,无论是整数还是浮点数,除以0均会产生异常,而在另一部分语言中,整数除以零会产生异常或未定义行为 ,而浮点数除以零的结果如下:
零与NaN除以零:NaN (注:NaN不等于NaN)
零与NaN以外的数除以符号相同的0(如1除以0):正无穷大
零与NaN以外的数除以符号不同的0(如1除以-0 、-1除以0):负无穷大
Charles Seife 2000, Zero: The Biography of a Dangerous Idea , Penguin Books, NY, ISBN 0 14 02.9647 6 (pbk.).
Alfred Tarski 1941 (1995 Dover edition), Introduction to Logic and to the Methodology of Deductive Sciences , Dover Publications, Inc., Mineola, New York. ISBN 0-486-28462-X (pbk.).
Jakub Czajko (July 2004) "", Chaos, Solitons and Fractals , volume 21, number 2, pages 261–271.