数学上,次單位根是次冪為1的複數。它們位於复平面的单位圆上,構成正多边形的頂點,但最多只可有兩個頂點同時標在實數線上。
这方程的複數根 為次單位根。
單位的 次根有 個:
- 。
單位的 次根以乘法構成階循環群。它的生成元是 次本原單位根。次本原單位根是,其中和互質。次本原單位根數目為歐拉函數。
全体i次单位根对普通乘法作成群,即i次单位根群。所有全体i次单位根群在普通乘法下也可作成群,且这是一个无限交换群,这个无限交换群里的每个元素的阶都有限。
一次單位根有一個: 。
二次單位根有兩個: 和,只有是本原根。
三次单位根是
其中是虚數單位;除外都是本原根。
四次單位根是
其中和是本原根。
當不小於时,次單位根總和為。這一結果可以用不同的方法證明。一個基本方法是等比級數:
- 。
第二個證法是它們在複平面上構成正多邊形的頂點,而從對稱性知這多邊形的重心在原點。
還有一個證法利用關於方程根與係數的韋達定理,由分圓方程的項係數為零得出。