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振荡 (数学)

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序列的振荡（蓝色）是序列的上极限和下极限的差值。

数学中，函数或序列的振荡是用于量化序列或函数在接近无穷大或某一点时，其极值之间的变化程度的数字。与极限类似，有好几种定义将这一只管概念转化为适合数学处理的形式：实数序列的振荡、实值函数在一点的振荡，以及函数在区间（或开集）上的振荡。

定义

序列的振荡

令 $(a_{n})$ 为实数序列。则序列的 $\omega (a_{n})$ 振荡可定义为 $(a_{n})$ 的上下极限之间的差（可能是无穷大）：

\omega (a_{n})=\limsup _{n\to \infty }a_{n}-\liminf _{n\to \infty }a_{n}

.

当且仅当序列收敛时，振荡为零。若 $\limsup _{n\to \infty }$ 、 $\liminf _{n\to \infty }$ 都等于+∞或−∞，即序列趋近于+∞或−∞，则称振荡未定义。

开集函数的振荡

令 $f$ 为实变量的实值函数，则 $f$ 在区间 $I$ 上的振荡是 $f$ 的上下确界之差：

\omega _{f}(I)=\sup _{x\in I}f(x)-\inf _{x\in I}f(x).

更一般地说，若 $f:X\to \mathbb {R}$ 是拓扑空间 $X$ （如度量空间）上的函数，则 $f$ 在开集 $U$ 上的振荡为

\omega _{f}(U)=\sup _{x\in U}f(x)-\inf _{x\in U}f(x).

函数在一点的振荡

实变函数 $f$ 在 $x_{0}$ 处的振荡定义为 $f$ 在 $x_{0}$ 的 $\epsilon$ 邻域上的振荡在 $\epsilon \to 0$ 时的极限：

\omega _{f}(x_{0})=\lim _{\epsilon \to 0}\omega _{f}(x_{0}-\epsilon ,x_{0}+\epsilon ).

这等同于函数在 $x_{0}$ 处的上下极限之差，前提是 $x_{0}$ 不被排除在极限之外。

更一般地说，若 $f:X\to \mathbb {R}$ 是度量空间上的实值函数，则振荡为

\omega _{f}(x_{0})=\lim _{\epsilon \to 0}\omega _{f}(B_{\epsilon }(x_{0})).

示例

sin (1/x)（拓扑学家正弦曲线）在x = 0处的振荡为2，其他地方都是0。

${\frac {1}{x}}$ 在 $x=0$ 处有无穷大的振荡，其他地方均为0。
$\sin {\frac {1}{x}}$ （拓扑学家正弦曲线）在 $x=0$ 处的振荡为2，其他地方均为0。
$\sin x$ 在所有有限的 $x$ 处的振荡均为0，在−∞、+∞处为2。
$(-1)^{x}$ （1, -1, 1, -1, 1, -1...）的振荡为2。

最后一例的序列是周期的，而任何周期（非常值）序列的振荡必不是0。不过，非零振荡无法推出周期性。

从几何角度看，实数振荡函数的图形会沿着xy平面上的某条路径运行，而不会收敛到越来越小的区域。在良态情况下，路径可能看起来像一个循环，即周期性行为；在最糟糕的情况下，则是覆盖整个区域的非常不规则的运动。

连续性

振荡可以用来定义函数的连续性，并且很容易等价于通常的ε-δ定义（对于定义在实线各处的函数）：当且仅当振荡为0时，函数ƒ在x₀处连续；^[1]用符号表示为 $\omega _{f}(x_{0})=0.$ 这个定义的好处在于量化了不连续性：振荡给出了函数在某点的不连续程度。

例如，在间断点的分类中有：

可去间断点的函数偏移值等于震荡；
跳跃间断点的函数跳跃值等于震荡（假设该点的值位于两侧极限之间）；
第二类间断点中，振荡衡量了极限不存在的程度。

描述集合论中，这个定义有助于研究间断点和连续点的集合：连续点是振荡小于ε的集合的交集（于是是G_δ集），并给出了勒贝格可积条件一个方向的快速证明。^[2]

通过简单的重排和极限（上极限和下极限）来定义振荡，可以等价于ε-δ定义：若（在某点）对给定的ε₀，没有能满足ε-δ条件的δ，则振荡大于等于ε₀；反之，若对每个ε都有能满足的δ，则振荡为0。振荡定义可以自然地推广到从拓扑空间到度量空间的映射。

推广

更一般地，设f : X → Y是拓扑空间X到度量空间Y的函数，则f的振荡可定义在每个x ∈ X：

\omega (x)=\inf \left\{\mathrm {diam} (f(U))\mid U\mathrm {\ is\ a\ neighborhood\ of\ } x\right\}

另见

参考文献

^ Introduction to Real Analysis （页面存档备份，存于互联网档案馆）, updated April 2010, William F. Trench, Theorem 3.5.2, p. 172
^ Introduction to Real Analysis （页面存档备份，存于互联网档案馆）, updated April 2010, William F. Trench, 3.5 "A More Advanced Look at the Existence of the Proper Riemann Integral", pp. 171–177

阅读更多

Hewitt and Stromberg. Real and abstract analysis. Springer-Verlag. 1965: 78. ISBN 9780387901381.
Oxtoby, J. Measure and category 4th. Springer-Verlag. 1996: 31–35. ISBN 978-0-387-90508-2.
Pugh, C. C. Real mathematical analysis. New York: Springer. 2002: 164–165. ISBN 0-387-95297-7.

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