排序不等式是數學上的一條不等式。它可以推導出很多有名的不等式,例如算術幾何平均不等式(簡稱算幾不等式),柯西不等式,和切比雪夫總和不等式。它是說:
如果 ,和 是兩組實數。而 是的一個排列。排序不等式指出 。
以文字可以說成是順序和不小於亂序和,亂序和不小於逆序和。與很多不等式不同,排序不等式不需限定的正負。
排序不等式可以用數學歸納法證明。關鍵在於下列結果:
若 ,則有
移項得出 。
重複以上步骤便可得出排序不等式。
我们设 为 原序列的前 个数的和,即 。
设 为打乱顺序后的序列, 表示乱序后的前 个数的和。所以有 。
注意到 ,则
得证。