规范丛
数学中,域上n维非奇异代数簇V的规范丛是线丛,是V上余切丛的n次外幂。
复数上,它是全纯余切丛的行列式丛;等价地,它是V上全纯n形式的线丛。这是V上塞雷对偶性的对偶化对象,同样可视作可逆层。
规范类是V上卡蒂埃除子K的除子类,产生了规范丛。规范类是V上线性等价的等价类,其中任何除子都可称作规范除子。
反规范丛是相应的逆丛。V的反规范丛是丰沛的,则称V是法诺簇。
伴随公式
[编辑]设X是光滑簇,D是X上的光滑除子。伴随公式将X与D的规范丛关联起来。这是个自然同构
用规范类表示就是
此式是代数几何中最强大的公式之一。现代双有理几何的一个重要工具是逆伴随,可以从D的奇点推导出X的奇点的结果。
规范丛公式
[编辑]令X是正交面(normal surface)。X的g亏格纤维化是到光滑曲线的紧合平坦态射f,使,并且f的所有纤维f都有算术亏格g。若X是光滑射影面、f的纤维不含自交的有理曲线,就称纤维化是最小的(minimal)。例如,若X允许(最小)0亏格纤维化,则X就是双有理规则的,即双有理于。 对最小1亏格纤维化(也称作椭圆纤维化),除有限多个纤维外,f的所有纤维都是几何积分,且所有纤维都几何连通(由扎里斯基连通性定理)。特别地,对f的纤维,有,其中是X的规范除子,因此对,若,则F是几何积分,否则。
考虑最小1亏格纤维化。令是有限多纤维,且不是几何积分,并记,其中是展开为积分组分的系数的最大公除子。这些纤维称作多重纤维(multiple fiber)。通过上同调与基变换可得,其中是可逆层,是扭层(受支持,使得)。那么
其中,且。[1] 我们注意到
- .
例如,对阿尔巴尼态射诱导的(准)双椭圆曲面的最小1亏格纤维化,规范丛公式给出该纤维无多重纤维。对K3曲面的最小1亏格纤维,也可以做出类似的推论。另一方面,恩里克斯曲面的最小1亏格纤维总包含多重纤维,因此这样的曲面不含截面。
奇异情形
[编辑]奇异簇X上有几种方法可定义规范除子。若簇是正规的,则在余维度1上一定是光滑的。特别地,可在光滑轨迹(locus)上定义规范除子,这样就可在X上得到唯一的韦伊除子,这个除子类记作,称作X上的规范除子。
另外,同样是在正规簇X上,可以考虑X的正规化对偶化复形的第d上同调。这个层对应于一个韦伊除子类,等于上面定义的除子类。在无正规性假设的情形下,若X是S2或1维葛仑斯坦环,结果也成立。
规范映射
[编辑]若规范类是有效的,则就确定了V到射影空间的有理映射,称作规范映射(canonical map),由规范类的n倍确定的就称作n-规范映射。n-规范映射将V送到比n倍规范类的全局截面低1维的射影空间。n-规范映射可能有基点,就是说它们不是处处有定义的(即可能不是簇的态射)。它们可能有正维纤维,即使有0维纤维,也不一定是局部解析同构。
规范曲线
[编辑]研究得最好的是曲线。其中,规范丛与(全纯)余切丛相同。因此,规范丛的全局截面与处处规则(everywhere-regular)微分形式相同,经典上这些微分被称作第一类微分。对亏格为g的曲线,规范类的度数为。[2]
低亏格
[编辑]设C是亏格为g的光滑代数曲线。若,则C是P1,规范类是的类,其中P是C的任一点。这源于微积分公式,例如黎曼球面上原点处有双极点的亚纯微分。特别地,及其倍数不是有效的。若,则C是椭圆曲线,是平凡丛。平凡丛的全局截面构成饿了1维向量空间,因此对任意n,n规范映射就是到一点的映射。
超椭圆情形
[编辑]若C的亏格大于等于2,则规范类一般很大,因此任意n-规范映射的像都是曲线。1-规范映射的像称作规范曲线。亏格为g的规范曲线总位于维数为的射影空间中。[3]C是超椭圆曲线时,规范曲线是有理正规曲线,而C是其规范曲线的双覆盖。例如,若P是度数为6的多项式(无重根),则
是亏格2曲线的仿射曲线表示,必然是超椭圆曲线,第一类微分的基用同样的符号可表为
- .
这意味着,齐次坐标作为到射影线的态射,给出了规范映射。亏格更高的超椭圆曲线的有理正规曲线也以同样方式产生,x的幂次为高次单项式。
一般情形
[编辑]否则,对非超椭圆的C(即g大于3),态射是C与其像之间的同构,后者的次数为。因此对,规范曲线(非超椭圆情形)是四次平面曲线。所有非奇异四次平面曲线都这样产生。时,规范曲线是二次曲面与三次曲面的交;时,规范曲线是3个二次曲面的交。[3]黎曼-罗赫定理有个反向推论:亏格为g的非奇异曲线C嵌入维度为的射影空间,只要其线性张成了整个空间,就可成为度数为的线性正规曲线。事实上,规范曲线C(g不小于3的非超椭圆情形)、黎曼-罗赫定理和特殊除子理论的关系相当近。C上不同点组成的有效除子D在规范嵌入中具有维数与所属线性系统的维数直接相关的线性跨度(span),经过更多讨论,这也适用于具有重点的情形。[4][5]
对更大的g,可以获得更精细的信息,但这时规范曲线一般不是完全交,描述时需要更多考虑交换代数。这领域始于马克斯·诺特定理:经过C的二次曲面嵌入为规范曲线的维数为。[6]佩特里定理是卡尔·佩特里(1881–1955)于1923年发表的,指出g不小于4时定义规范曲线的齐次理想由其2阶元素生成,例外是(a) 三角曲线;(b) 时的非奇异四次平面曲线。例外中,理想由2阶和3阶元素生成。历史上看,这一结果在佩特里之前就已广为人知,称作巴贝奇-Chisini-Enriques定理。这结果也称作诺特–Enriques定理,因此术语上比较混乱。诺特证明超椭圆情形之外(用现代语言来说)规范丛是正规生成(normally generated)的:规范丛的截面空间的对称幂映射到其张量幂的截面上。[7][8]比如,这说明由第一类微分生成这类曲线上的二次微分,这对局部Torelli定理有影响。[9]佩特里的研究实际上提供了理想(ideal)的二次、三次生成器,表明除了特殊情形外,三次可用二次表示。特殊情形下,通过规范曲线的二次交分别是直纹曲面和维罗纳曲面。
这些经典结果是在复数上证明的,但现代讨论表明,这些技术适用于任何示性的域。[10]
规范环
[编辑]V的规范环是分次环
若V的规范类是丰沛线丛,则规范环是规范映射的像的齐次坐标环,V的规范类不丰沛也成立。例如,若C是超椭圆曲线,则规范环还是规范映射的像的齐次坐标环。总之,若上面的环是有限生成的,则很容易看出它是k-规范映射(k是任意充分可分的正整数)的像的齐次坐标环。 最小模型纲领(minimal model program)提出,每个光滑或轻度其一射影簇的规范环都是有限生成的。特别地,众所周知,这意味着存在规范模型(即V的一个具有轻度奇点的特殊双有理模型)。若规范环是有限生成的,则规范模型是规范环的Proj。若规范环不是有限生成的,则就不是簇,因此对V不是双有理的;特别地,V不允许规范模型。可以证明,若V的规范除子K是nef除子、K的自交数为正,则V将接纳一个规范模型(更一般地说,这对正规完全戈伦斯坦代数空间是正确的[11])。[12] Birkar–Cascini–Hacon–McKernan (2006)[13]的一个基本定理是:光滑或轻度奇异的射影代数簇的规范环是有限生成的。
V的小平维度是规范环的维度减一。这里的规范环维度是克鲁尔维数或超越度。
另见
[编辑]注释
[编辑]- ^ Badescu, Lucian. Algebraic Surfaces. Springer Science & Business Media. 2001: 111. ISBN 9780387986685.
- ^ Hazewinkel, Michiel (编), canonical class, 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4
- ^ 3.0 3.1 Parshin, A. N., Canonical curve, Hazewinkel, Michiel (编), 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4
- ^ Geometric Form of Riemann-Roch | Rigorous Trivialities. 2008-08-07 [2024-06-25]. (原始内容存档于2024-06-25).
- ^ Rick Miranda, Algebraic Curves and Riemann Surfaces (1995), Ch. VII.
- ^ David Eisenbud, The Geometry of Syzygies (2005), p. 181-2.
- ^ Iskovskih, V. A., Noether–Enriques theorem, Hazewinkel, Michiel (编), 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4
- ^ Igor Rostislavovich Shafarevich, Algebraic geometry I (1994), p. 192.
- ^ Hazewinkel, Michiel (编), Torelli theorems, 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4
- ^ http://hal.archives-ouvertes.fr/docs/00/40/42/57/PDF/these-OD.pdf (页面存档备份,存于互联网档案馆), pp. 11-13.
- ^ Badescu, Lucian. Algebraic Surfaces. Springer Science & Business Media. 2001: 242. ISBN 9780387986685.
- ^ Badescu, Lucian. Algebraic Surfaces. Springer Science & Business Media. 2001: 123. ISBN 9780387986685.
- ^ 09w5033: Complex Analysis and Complex Geometry | Banff International Research Station. [2024-06-25]. (原始内容存档于2009-01-31).