賦值向量環

在數論中，賦值向量環或阿代爾環（法文：adèle，英譯多用原文）是由一個域 $F$ 的所有完備化構成的拓撲環 $\mathbb {A} _{F}$，原域 $F$ 可以對角方式嵌入其中。

在現代代數數論中，賦值向量環是處理整體問題的基本語言。

法文原文 adèle 是 idèle additif 的縮寫，其中 idèle 意指理想元（élément idéal）。adèle 也是法文中常見的女性名字。

定義

設 $F$ 為整體域，例如有理數域 $\mathbb {Q}$、一般的數域或函數域 $\mathbb {F} _{q}(T)$ 等等。設 ${\mathcal {O}}_{F}$ 為其中的代數整數環。對於所有 $F$ 上的賦值 $v$（又稱位），可定義相應的完備化 $F_{v}$。在此，通常將賦值分為有限與無限兩類：

• 有限賦值：一一對應於 ${\mathcal {O}}_{F}$ 的素理想，兩兩不相等價。其中的賦值環記為 ${\mathcal {O}}_{v}$。
• 無限賦值：$F$ 上的阿基米德賦值。對於數域，無限賦值係由域的嵌入 $\alpha :F\to \mathbb {C}$ 給出，兩個嵌入 $\alpha ,\beta :F\to \mathbb {C}$ 給出等價賦值的充要條件是其間至多差一個複共軛：$\alpha ={\bar {\beta }}$。無限賦值的個數有限。

有時也以素理想的慣用符號 ${\mathfrak {p}}$ 表示賦值，並以 ${\mathfrak {p}}\mid \infty$ 表示 ${\mathfrak {p}}$ 為無窮賦值。

定義

$\mathbb {A} _{F}:={\prod _{v}}'F_{v}$

上式的積稱為限制積，這是 $\Pi _{v}F_{v}$ 的子環，我們要求對其中的每個元素 $(\alpha _{v})_{v}$，存在包含所有無窮賦值的有限集 $S$，使得 $v\notin S\Rightarrow \alpha _{v}\in {\mathcal {O}}_{v}$。賦予 $\mathbb {A} _{F}$ 相應的子空間拓撲，是為賦值向量環。

$\mathbb {A} _{F}$ 的拓撲由在 $0$ 點的一組局部基確定，可取下述形式之開集：

$(\prod _{v\in S}U_{v})\times (\prod _{v\notin S}{\mathcal {O}}_{v})$

其中 $S$ 是函括所有無限賦值的有限集，$U_{v}\ni 0$ 是 $F_{v}$ 的開子集。根據吉洪諾夫定理可知 $\mathbb {A} _{F}$ 為局部緊拓撲環，這是採限制積定義的原因之一。

性質

• 對角嵌入 $F\to \Pi _{v}F_{v}\quad (\alpha \mapsto (\alpha )_{v})$ 的像落在 $\mathbb {A} _{F}$，可證明 $F$ 構成 $\mathbb {A} _{F}$ 的離散子集，而商群 $\mathbb {A} _{F}/F$ 是緊群。

• 固定 $\mathbb {A} _{F}$ 的任一特徵標 $\psi \neq 1$，則任何特徵標 $\psi '$ 皆可唯一地表示成 $\psi '(x)=\psi (ax)\quad (a\in \mathbb {A} _{F})$，是故加法群 $(\mathbb {A} _{F},+)$ 是其自身的對偶群。這是在賦值向量環上開展調和分析的關鍵之一。

應用

賦值向量環主要用於代數數論中。對於 $F$ 上的代數群 $G$，可考慮其上的 $\mathbb {A} _{F}-$點 $G(\mathbb {A} _{F})$。由於代數群總是線性的（換言之，可嵌入 $\mathrm {GL} (n)$），$G(\mathbb {A} _{F})$ 可以具體設想為係數佈於環 $\mathbb {A} _{F}$ 上的線性群，並帶有自然的拓撲結構。

最簡單的情形是 $G=\mathbb {G} _{m}$，此時 $G(\mathbb {A} _{F})=\mathbb {A} _{F}^{\times }$ 稱為 idèle 群，這是整體類域論的基石。在郎蘭茲綱領中，須考慮更廣泛的代數群，以描述數域的絕對伽羅瓦群。

文獻

• J. W. S. Cassels, A. Frohlich, Algebraic Number Theory ISBN 0-12-163251-2