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夹挤定理

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夹挤定理(英语:squeeze theorem),又称夹逼定理夹极限定理三明治定理逼近定理迫敛定理,是有关函数极限的数学定理。指出若有两个函数在某点的极限相同,且有第三个函数的值在这两个函数之间,则第三个函数在该点的极限也相同[1]

定义

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为包含某点区间为定义在上,可能不包含a点的函数。若对于所有属于而不等于,有:

分别称为下界上界

若在的端点,上面的极限是左极限或右极限。 对于,这个定理还是可用的。

例子

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有关正弦函数的极限

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对于

在任何包含0的区间上,除了均有定义。

对于实数值,正弦函数的绝对值不大于1,因此的绝对值也不大于。设,

,根据夹挤定理

对于

首先用几何方法证明:若

称(1,0)为D。A是单位圆圆周右上部分的一点。上,使得垂直。过作单位圆的切线,与的延长线交于

由定义可得

因为,根据夹挤定理

另一边的极限可用这个结果求出。

高斯函数

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高斯函数积分的应用包括连续傅立叶变换和正交化。 一般高斯函数的积分是,现在要求的是

被积函数对于y轴是对称的,因此是被积函数对于所有实数的积分的一半。

这个二重积分在一个的正方形内。它比其内切圆大,比外接圆小。这些可用极坐标表示:

证明

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极限为0的情况

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,而且

,根据函数的极限的定义,存在使得:若,则

由于 ,故

,则。于是,

一般情况

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根据上面已证的特殊情况,可知

参考

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  1. ^ Stewart, James. Chapter 15.2 Limits and Continuity. Multivariable Calculus (6th ed.). 2008: 909–910. ISBN 978-0495011637.