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对数恒等式

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数学中,有许多对数恒等式

代数恒等式

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简化计算

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对数可以用来简化计算。例如,两个数可以只通过查表和相加而得到乘积。

对应到
欧拉恒等式

消去指数

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同底的对数和指数会彼此消去。这是因为对数和指数是互逆运算(就像乘法和除法那样)。

因为
因为

换底公式

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在计算器上计算对数时需要用到这个公式。例如,大多数计算器有lnlog10的按钮,但却没有的。要计算,只有计算[注 1]


这个公式有许多推论:

1.倒数公式

2.底数n次 对数1/n倍

3.上下对调公式



和/差公式

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下面的和/差规则对概率论中的对数化概率的计算非常有用:

[注 2]

普通恒等式

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因为
因为

注意无定义,因为没有一个数使成立。

微积分恒等式

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最后一个极限经常被总结为“的对数增长得比的任何次方或方根都慢”。[注 3]

对数函数的导数

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积分定义

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对数函数的积分

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为了记忆积分,可以方便的定义:

于是,

求大数的近似数

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对数恒等式可以用来求大数的近似数。 假设我们要得到第44个梅森质数的近似值。先取对数(被忽略),以10为底的对数等于 32,582,657 与的乘积,计算得到。再取指数消去对数,得到最后结果为 .

类似地,阶乘的结果可以用每项的对数之和来近似。

注释

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  1. ^ ,两者结果一样
  2. ^ 在使用时如果,等式右边的必须互换。在时,因为0的对数无定义,所以此时减法等式无定义。
  3. ^ 说函数的极限“等于无穷大”是不严密的,因为“无穷大”不是数。上面右边是无穷大的等式的意思是,函数可以无限制的增加/减少。