布朗定理

布朗定理是一个数论中的定理，由挪威数学家维戈·布朗在1919年以筛法证明，而他为了证明此定理所开发的筛法即所谓的布朗筛法。

设P(x)为满足p ≤ x的素数数目，使得p + 2也是素数（也就是说，P(x)是孪生素数的数目）。那么，对于x ≥ 3，我们有：

$P(x)<c{\frac {x}{(\log x)^{2}}}(\log \log x)^{2}$

其中c是某个常数。

从这个结果可以推出，所有孪生素数的倒数之和收敛；也就是说，以下的级数

$\sum \limits _{p\,:\,p+2\in \mathbb {P} }{\left({{\frac {1}{p}}+{\frac {1}{p+2}}}\right)}=\left({{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}}\right)+\left({{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{7}}}\right)+\left({{\frac {1}{11}}+{\frac {1}{13}}}\right)+\cdots$

是收敛的，它的值称为布朗常数。假如它是发散的，那么就可以推出孪生素数有无穷多个；但现在它收敛，我们就仍然不知道孪生素数是否有无穷多个。

参见

• 证明所有素数的倒数之和发散
• 布朗筛法
• 奔腾浮点除错误─Thomas Nicely在研究布朗常数时发现的错误。

参考文献

• 埃里克·韦斯坦因. 布朗定理. MathWorld. 
• Brun, V. "La serie 1/5+1/7+1/11+1/13+1/17+1/19+1/29+1/31+1/41+1/43+1/59+1/61+..., les dénominateurs sont nombres premiers jumeaux est convergente où finie." Bull. Sci. Math. 43, p.124-128, 1919.
• Landau, E. Elementare Zahlentheorie. Leipzig, Germany: Hirzel, 1927. Reprinted Providence, RI: Amer. Math. Soc., 1990.