帕普斯定理

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帕普斯定理

设U，V，W，X，Y和Z为平面上6条直线。如果：
（1）U与V的交点，X与W的交点，Y与Z的交点共线，且
（2）U与Z的交点，X与V的交点，Y与W的交点共线，
则一定有（3）U与W的交点，X与Z的交点，Y与V的交点共线。这个定理叫做帕普斯六角形定理（英语：Pappus's hexagon theorem）。

也就是说，
如果

$\langle U\times V,X\times W,Y\times Z\rangle =0$

且

$\langle U\times Z,X\times V,Y\times W\rangle =0$

则

$\langle U\times W,X\times Z,Y\times V\rangle =0.$

这个定理是帕斯卡定理的一个特例，当这个圆锥曲线退化成两条直线的时候。

证明

设

$\alpha =\langle U\times V,X\times W,Y\times Z\rangle$

$\beta =\langle U\times Z,X\times V,Y\times W\rangle$

$\gamma =\langle U\times W,X\times Z,Y\times V\rangle$

我们需要证明如果$\alpha$ = 0且$\beta$ = 0，则$\gamma$ = 0。

第一步

利用恒等式

$\langle A,B,C\rangle =\langle C,A,B\rangle =\langle B,C,A\rangle$

可将$\alpha$、$\beta$及$\gamma$表述为以下形式：

$\alpha =\langle U\times V,X\times W,Y\times Z\rangle$

$\beta =\langle Y\times W,U\times Z,X\times V\rangle$

$\gamma =\langle X\times Z,Y\times V,U\times W\rangle$

第二步

利用恒等式

$\langle A,B,C\rangle =A\cdot (B\times C)$

$A\times (B\times C)=(A\cdot C)B-(A\cdot B)C$

可得

$\alpha =(U\times V)\cdot ((X\times W)\times (Y\times Z))$

$\beta =(Y\times W)\cdot ((U\times Z)\times (X\times V))$

$\gamma =(X\times Z)\cdot ((Y\times V)\times (U\times W))$

以及

$\alpha =(U\times V)\cdot (\langle X,W,Z\rangle Y-\langle X,W,Y\rangle Z)$

$\beta =(Y\times W)\cdot (\langle U,Z,V\rangle X-\langle U,Z,X\rangle V)$

$\gamma =(X\times Z)\cdot (\langle Y,V,W\rangle U-\langle Y,V,U\rangle W)$

第三步

利用数量积的分配律，可得：

$\alpha =\langle X,W,Z\rangle \langle U,V,Y\rangle -\langle X,W,Y\rangle \langle U,V,Z\rangle$

$\beta =\langle U,Z,V\rangle \langle Y,W,X\rangle -\langle U,Z,X\rangle \langle Y,W,V\rangle$

$\gamma =\langle Y,V,W\rangle \langle X,Z,U\rangle -\langle Y,V,U\rangle \langle X,Z,W\rangle$

第四步

利用恒等式

$\langle A,B,C\rangle =\langle C,A,B\rangle =\langle B,C,A\rangle$

$\langle A,B,C\rangle =-\langle A,C,B\rangle =-\langle C,B,A\rangle =-\langle B,A,C\rangle$

可得：

$\alpha =\langle X,W,Z\rangle \langle U,V,Y\rangle -\langle X,W,Y\rangle \langle U,V,Z\rangle$

$\beta =-\langle U,Z,X\rangle \langle Y,W,V\rangle +\langle X,W,Y\rangle \langle U,V,Z\rangle$

$\gamma =\langle U,Z,X\rangle \langle Y,W,V\rangle -\langle X,W,Z\rangle \langle U,V,Y\rangle$

第五步

把这些等式相加，得：

$\alpha +\beta +\gamma =0$

$\gamma =-(\alpha +\beta )$

因此，如果$\alpha$ = 0且$\beta$ = 0，则$\gamma$ = 0。

证毕。

参见

• 布列安桑定理
• 帕斯卡定理
• 笛沙格定理