斑点检测

斑点检测是在电脑视觉领域的重要技术，其目的是识别在影像中，与周围区域有亮度、颜色、纹理等特性上存在明显差异的区域。这些区域被称为斑点，由于它们是具相似属性的像素集合，在各种影像分析任务中具有重要意义。斑点检测能够分离出拥有独特特征的区域，因此其作为许多影像处理任务的基础，例如：物体识别、物件追踪和纹理分析等。

斑点检测技术大多利用卷积方式，主要可以分成以下两类：微分方法和局部极值方法。微分方法计算影像函数对坐标的导数，通过识别导数值达到极值的点来检测斑点。局部极值方法通过搜索影像函数中的局部最大值和最小值来检测斑点，这些方法不依赖于导数，而是专注于像素的强度值。

常见的方法包括高斯拉普拉斯（LoG）方法，该方法将影像与高斯核进行卷积以平滑影像，然后应用拉普拉斯算子，斑点在拉普拉斯响应达到显著值的点处被检测出来。另一种方法是黑塞矩阵行列式（DoH），该技术使用由图像的二阶偏导数组成的黑塞矩阵的行列式，斑点在行列式达到最大值的点处被检测出来。高斯差（DoG）方法通过减去两个具有不同标准差的高斯模糊图像来近似高斯拉普拉斯，斑点在结果图像的极值处被定位。

高斯拉普拉斯算子 (LOG)

高斯拉普拉斯算子是最常见的一种斑点侦测方法。令影像为$f(x,y)$，影像首先会用以下的高斯函数

$G(x,y;\sigma )={1 \over {\sqrt {2\pi \sigma ^{2}}}}\exp(-{\frac {x^{2}+y^{2}}{2\sigma ^{2}}})$

，在这里$\sigma$是标准差，利用其与影像作卷积得到$L$：

$L(x,y;\sigma )=f(x,y)*G(x,y;\sigma )$

接着，运用拉普拉斯算子计算出影像的LOG尺度空间表示 (scale-space representation)：

$\nabla ^{2}={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}$

$\nabla ^{2}L=L_{xx}+L_{yy}$

直观上，在高斯拉普拉斯算子中，在拉普拉斯前先做高斯的目的是使影像平滑且去除噪声。拉普拉斯算子能够检测到快速的强度转换，常使用于边缘侦测中。而当高斯拉普拉斯算子中$\sigma$的尺度变大时，斑点会收敛到局部极值，也因此使用高斯拉普拉斯算子进行斑点侦测。

为了达到自动侦测不同尺度的斑点，多尺度（multi-scale）的高斯拉普拉斯算子被使用。一个最直接的方法是使用尺度正规化（scale-normalized）的拉普拉斯运算子

$\nabla _{\mathrm {norm} }^{2}L=t\,(L_{xx}+L_{yy})$

，再借此找出极值与斑点

$({\hat {x}},{\hat {y}};{\hat {t}})=\operatorname {argmaxminlocal} _{(x,y;t)}((\nabla _{\mathrm {norm} }^{2}L)(x,y;t))$。

高斯差算子（DOG）

主条目：高斯差

由于高斯拉普拉斯的尺度空间表示$L(x,y,t)$符合扩散方程式：

$\partial _{t}L={\frac {1}{2}}\nabla ^{2}L$

高斯拉普拉斯也因此可以利用两个高斯平滑的影像的差进行计算

$\nabla _{\mathrm {norm} }^{2}L(x,y;t)\approx {\frac {t}{\Delta t}}\left(L(x,y;t+\Delta t)-L(x,y;t)\right)$.

在电脑视觉领域中，此方法称为高斯差算子（DOG），此算子可以被视为高斯拉普拉斯算子的近似。相较于高斯拉普拉斯，高斯差算子可以更有效率的进行计算。高斯差算子经常被使用在斑点检测中，作为高斯拉普拉斯的替代。

黑塞矩阵行列式（DOH）

考虑黑塞矩阵的尺度正规化（scale-normalized）的行列式，又称齐次蒙日-安培方程，

$\det H_{\mathrm {norm} }L=t^{2}\left(L_{xx}L_{yy}-L_{xy}^{2}\right)$

，在这里HL指的是黑塞矩阵。接着，借由侦测$\det H_{norm}L$的局部极值，此方法也可进行自动斑点检测。

$({\hat {x}},{\hat {y}};{\hat {t}})=\operatorname {argmaxlocal} _{(x,y;t)}((\det H_{\mathrm {norm} }L)(x,y;t))$.

一篇研究中给出了黑塞矩阵行列式及其他密切相关的尺度空间特征点检测器的选择属性的详细分析，显示黑塞矩阵行列式在仿射影像变换下具有比拉普拉斯算子更好的尺度选择。其他研究中显示，黑塞矩阵算子行列式在使用类似 SIFT 或 SURF 的局部影像描述进行基于影像的匹配时，与拉普拉斯算子和高斯差的表现近似，并且相对Harris 或 Harris-Laplace 算子有更好的表现，达到更高的效率值和更低的 1-precision 分数。

拉普拉斯算子与黑塞矩阵行列式的混合（Hessian-Laplace）

一篇研究提出由拉普拉斯和黑塞矩阵混合的斑点侦测方法，其中空间选择由Hessian行列式完成，而尺度选择则由尺度标准化的拉普拉斯算子进行。

$({\hat {x}},{\hat {y}})=\operatorname {argmaxlocal} _{(x,y)}((\det HL)(x,y;t))$

${\hat {t}}=\operatorname {argmaxminlocal} _{t}((\nabla _{\mathrm {norm} }^{2}L)({\hat {x}},{\hat {y}};t))$

此算子被运用于影像匹配、物体识别以及纹理分析。

结合机器学习进行斑点分类

斑点检测能将潜在的斑点寻找出来，但是其中同时含有目标斑点与不相关的斑点，因此这些不相关的斑点必须在最终结果中被分开。机器学习算法能基于目标斑点的期待特征，进行目标斑点与不相关斑点的分类。在斑点的二元分类中，以下算法被各个研究使用：监督学习如决策树、K-近邻算法、支援向量机等，无监督学习如k-平均算法、混合模型等。此外，深度学习模型如VGG-16、ResNet50等，也可以协助斑点分类与影像分割。

参见

• 特征检测
• 高斯拉普拉斯
• 高斯差
• 黑塞矩阵行列式
• 影像处理
• 电脑视觉
• 数字信号处理