泊松方程

泊松方程（法语：Équation de Poisson）是数学中一个常见于静电学、机械工程和理论物理的偏微分方程，因法国数学家、几何学家及物理学家泊松而得名的。

方程的叙述

泊松方程为

$\Delta \varphi =f$

在这里$\Delta$代表的是拉普拉斯算子，而$f$和$\varphi$可以是在流形上的实数或复数值的方程。当流形属于欧几里得空间，而拉普拉斯算子通常表示为${\nabla }^{2}$，因此泊松方程通常写成

${\nabla }^{2}\varphi =f$

在三维直角坐标系，可以写成

$\left({\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}\right)\varphi (x,y,z)=f(x,y,z).$

如果有$f(x,y,z)$恒等于0，这个方程就会变成一个齐次方程，这个方程称作“拉普拉斯方程”。

$\Delta \varphi =0.\!$

泊松方程可以用格林函数来求解；如何利用格林函数来解泊松方程可以参考屏蔽泊松方程。现在也发展出很多种数值解，如松弛法（一种迭代法）。

数学表达

通常泊松方程表示为

$-\Delta \varphi =f$

这里$\Delta$代表拉普拉斯算子，$f$为已知函数，而$\varphi$为未知函数。当$f=0$ 时，这个方程被称为拉普拉斯方程。

为了解泊松方程我们需要更多的信息，比如狄利克雷边界条件:

${\begin{cases}-\Delta \varphi =f&{\text{in}}\ \Omega \\\varphi =g&{\text{auf}}\ \partial \Omega \end{cases}}$

其中 $\Omega \subset \mathbb {R} ^{n}$ 为有界开集。

这种情况下利用基础函数构建泊松方程的解，拉普拉斯方程的基础函数为:

$\Phi (x)={\begin{cases}-{\dfrac {1}{2\pi }}\ln |x|&n=2\\{\dfrac {1}{n(n-2)\omega _{n}}}{\dfrac {1}{|x|^{n-2}}}&n\geq 3\end{cases}}$

其中$\omega _{n}$为n维欧几里得空间中单位球面的体积，此时可通过卷积$(\Phi *f)$得到 $-\Delta \varphi =f$的解。

为了使方程满足上述边界条件，我们使用格林函数

$G(x,y)=\Phi (y-x)-\phi ^{x}(y)$

$\phi ^{x}$ 为一个校正函数，它满足

${\begin{cases}\Delta \phi ^{x}=0&{\text{in}}\ \Omega \\\phi ^{x}=\Phi (y-x)&{\text{auf}}\ \partial \Omega \end{cases}}$

通常情况下$\phi ^{x}$是依赖于$\Omega$。

通过 $G(x,y)$可以给出上述边界条件的解

$u(x)=-\int _{\partial \Omega }g(y){\frac {\partial G}{\partial \nu }}(x,y)\mathrm {d} \sigma (y)+\int _{\Omega }f(y)G(x,y)\mathrm {d} y$

其中$\sigma$ 表示$\partial \Omega$上的曲面测度。

此方程的解也可通过变分法得到。

静电学

在静电学很容易遇到泊松方程。对于给定的f找出φ是一个很实际的问题，因为我们经常遇到给定电荷密度然后找出电势的问题。在国际单位制（SI）中：

${\nabla }^{2}\Phi =-{\rho \over \epsilon _{0}}$

此$\Phi \!$代表电势（单位为伏特），$\rho \!$是体电荷密度（单位为库仑/立方米），而$\epsilon _{0}\!$是真空电容率（单位为法拉/米）。

如果空间中有某区域没有带电粒子，则

$\rho =0,\,$

此方程就变成拉普拉斯方程：

${\nabla }^{2}\Phi =0.$

高斯电荷分布的电场

如果有一个三维球对称的高斯分布电荷密度 $\rho (r)$：

$\rho (r)={\frac {Q}{\sigma ^{3}{\sqrt {2\pi }}^{3}}}\,e^{-r^{2}/(2\sigma ^{2})},$

此处，Q代表总电荷

此泊松方程：${\nabla }^{2}\Phi =-{\rho \over \epsilon _{0}}$ 的解Φ(r)则为

$\Phi (r)={1 \over 4\pi \epsilon _{0}}{\frac {Q}{r}}\,{\mbox{erf}}\left({\frac {r}{{\sqrt {2}}\sigma }}\right)$

erf(x)代表的是误差函数.

注意：如果r远大于σ，erf(x)趋近于1，而电场Φ(r)趋近点电荷电场 ${1 \over 4\pi \epsilon _{0}}{Q \over r}$；正如我们所预期的。

参阅

• 离散泊松方程
• 泊松-玻尔兹曼方程
• 泊松方程的唯一性定理

参考文献

来源

• Poisson Equation （页面存档备份，存于互联网档案馆） at EqWorld: The World of Mathematical Equations.
• L.C. Evans, Partial Differential Equations, American Mathematical Society, Providence, 1998. ISBN 0-8218-0772-2
• A. D. Polyanin, Handbook of Linear Partial Differential Equations for Engineers and Scientists, Chapman & Hall/CRC Press, Boca Raton, 2002. ISBN 1-58488-299-9.

外部链接

• Hazewinkel, Michiel (编), Poisson equation, 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4 
• Poisson's equation （页面存档备份，存于互联网档案馆） on PlanetMath.