自守形式

数学上所谓的自守形式（英语：Automorphic form），是一类特别的复变量函数，并在某个离散变换群下满足由自守因子描述之变换规律。模形式与马斯形式是其特例。由自守形式可定义自守表示，严格言之，自守表示并非寻常意义下的群表示，而是整体赫克代数上的模。

庞加莱在1880年代曾研究过自守形式，他称之为富克斯函数。郎兰兹纲领探讨自守表示与数论的深入联系。

古典定义

设 $\Gamma$ 为作用于复区域 $D$ 的离散群。取定自守因子 $j_{\gamma }(x),\;(\gamma \in \Gamma ,x\in D)$ 及权 $m\in \mathbb {N}$ 。相应的权 $m$ 自守形式是 $D$ 上满足下述函数方程的全纯函数

j_{\gamma }(x)^{m}f(\gamma (x))=f(x),\quad x\in D,\gamma \in \Gamma

。

自守因子 $j_{\gamma }(x)$ 当 $\gamma$ 固定时是 $D$ 上的全纯函数，并且是 $\Gamma$ 上的 1-闭上链。

定义中的复值函数 $f$ 可推广成取值为矩阵的函数；权 $m$ 的限制亦可放松，例如半整数 $m\in {\frac {1}{2}}+\mathbb {Z}$ 。

群上的定义

自守形式另有群表示理论的诠释，并牵涉数论，但无法完全涵摄古典定义。为简单起见，以下设 $G=\mathrm {GL} (n)$ ，其中心可等同于 $\mathbb {G} _{m}$ 。

考虑整体域 $F$ （例如 $F=\mathbb {Q}$ ），由此定义 $G$ 的阿代尔点 $G(\mathbb {A} _{F})$ ，赋予相应的拓扑结构，并取定标准的紧子群 $K$ 。

固定一拟特征 $\omega :F^{\times }\backslash \mathbb {A} _{F}^{\times }\to \mathbb {C} ^{\times }$ 。以 $\omega$ 为中心特征的自守形式定为 $G(F)\backslash G(\mathbb {A} _{F})$ 上满足下列条件的复值函数 $f$ ：

$f$ 光滑：若 $F$ 为函数域，这代表 $f$ 是局部常数函数。否则意谓存在一组 $G(\mathbb {A} _{F})$ 的开覆盖 ${\mathcal {U}}$ ，对每个 $h\in U\in {\mathcal {U}}$ ， $f(h)=f_{U}(h_{\infty })$ ，而 $f_{U}$ 无穷可微。
对任何 $z\in \mathbb {A} _{F}$ 及任何 $h$ ，总有 $f(z\cdot h)=\omega (z)f(h)$ 。
$f$ 右 $K$ -有限：函数 $f(\cdot k)\;(k\in K)$ 张成有限维向量空间。
承上，设 ${\mathcal {Z}}_{v}$ 为泛包络代数 $U({\mathfrak {gl}}(n,F_{v}))$ 之中心，则 $f$ 为 ${\mathcal {Z}}_{v}$ -有限。
缓增性：固定适当的高度函数 $\|\cdot \|:G(\mathbb {A} _{F})\to \mathbb {R} _{>0}$ （取法不影响定义），存在常数 $C$ 及 $N\in \mathbb {N}$ 使得 $|f(g)|\leq C\|g\|^{N}$ 。

注记. 若 $v$ 是 $F$ 的阿基米德赋值，条件二中张出的空间在李代数 ${\mathfrak {gl}}(n,F_{v})$ 的作用 $f\mapsto Xf$ 下不变。条件三蕴含自守形式对阿基米德赋值是解析函数。

若对所有 $r+s=n\,(0<r,s<n)$ 皆有

\int _{M_{r,s}(F)\backslash M_{r,s}(\mathbb {A} _{F})}f{\begin{pmatrix}I_{r}&X\\0&I_{s}\end{pmatrix}}\,dX=0

则称 $f$ 为尖点形式。

自守表示

定义 ${\mathcal {A}}(G(F)\backslash G(\mathbb {A} _{F}),\omega )$ 为中心特征为 $\omega$ 的自守形式集，子空间 ${\mathcal {A}}_{0}(G(F)\backslash G(\mathbb {A} _{F}),\omega )$ 则为尖点形式集。

这两个空间是有限阿代尔群 $G(\mathbb {A} _{\mathrm {fin} })$ 的表示；对阿基米德赋值则带有 $({\mathfrak {g}},K)$ -模结构。此套结构可以概括为整体赫克代数 ${\mathcal {H}}_{G(\mathbb {A} _{F})}$ 的表示。注意：它们并非 $G(\mathbb {A} )$ 的表示！

一个自守表示是 ${\mathcal {H}}_{G(\mathbb {A} _{F})}$ -模 ${\mathcal {A}}(G(F)\backslash G(\mathbb {A} _{F}),\omega )$ 之子商， $\omega$ 称作该自守表示的中心拟特征。尖点自守表示是 ${\mathcal {A}}_{0}(G(F)\backslash G(\mathbb {A} _{F}),\omega )$ 之子空间。

参考文献

A.N. Parshin, Automorphic Form, Hazewinkel, Michiel (编), 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4
Henryk Iwaniec, Spectral Methods of Automorphic Forms, Second Edition, (2002) (Volume 53 in Graduate Studies in Mathematics), American Mathematical Society, Providence, RI ISBN 0-8218-3160-7
Daniel Bump, Automorphic Forms and Representations, (1998), Cambridge Studies in Advanced Mathematics 55. ISBN 0-521-65818-7 .
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