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角动量图

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量子力学以及其应用如多体问题量子化学等领域中,角动量图是一种图形表示法,用以代表一量子系统的角动量量子态,使得相关计算能以符号形式推演。此方法的箭号将角动量态与狄拉克符号连结。

此方法是由立陶宛物理学家阿朵发斯‧朱西斯英语Adolfas Jucys于20世纪发明。在量子力学以及量子场论领域中,形似的符号表示法尚有费曼图彭罗斯图形符号。这些图样包含有箭头顶点,有些还有量子数的标记。

狄拉克符号与朱西斯角动量图的等价

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角动量量子态

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单一粒子带有总角动量量子数j与总磁量子数m = j, j − 1, ..., −j + 1, −j,其量子态矢量以狄拉克符号的右矢(Ket)标记为|j, m,其图形则为单箭头的箭号。有一相对应的左矢(Bra)为j, m|,其图形为双箭头的箭号,指向与右矢相反。

例子中

  • 量子数jm常标记在箭头附近,以表示特定的角动量量子态,
  • 箭头常在线段的中间
  • 等号"="置于等价的图样之间,如同相应的代数运算。

最基本的左矢与右矢图形符号为:

右矢 |j, m
左矢 j, m|

箭号指向顶点或从顶点指出,分别为

  • 标准表象(standard representation)以一条离开顶点的指向线段表示,
  • 反标准表象(contrastandard representation)则是以一条进入顶点的指向线段表示。

箭号一个一个相接续。在反标准表象中,采用时间反转算符TT算符是幺正的,也就是其厄米伴算符T等于其反算符T−1,即T = T−1。其作用在位置算符时,结果保持不变:

线动量算符则变为负值:

自旋算符也变为负值:

既然轨域角动量算符L = x × p,在T算符作用后也会变为负值:

也因此总角动量算符J = L + S也变为负值:

作用在角动量算符本征态|j, m,可得:(见注释)

时间反转的图形符号为:

时间反转右矢|j, m.
时间反转左矢j, m|.

将顶点标记在正确位置相当重要,否则正向时间与反向时间的算符会相互混淆。

内积

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状态|j1, m1与状态|j2, m2的内积:

相应的图形符号为:

|j1, m1|j2, m2内积,亦即j2, m2|j1, m1
时间反转等价

将内积加总,也就是缩并的计算:

习惯上会以一封闭圆来表示,并且标上j

内积缩并计算

外积

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状态|j1, m1与状态|j2, m2的外积是一算符:

相对应的图形符号为:

|j1, m1|j2, m2外积,亦即|j2, m2j1, m1|
时间反转等价

将外积加总,也就是缩并的计算:

时间反转算符T的结果可见于上式T|j, m。对外积缩并计算来缩,正向时间与反向时间没有差别,因此图形符号表示是相同的,皆为一无指向的线段,其上仅标示j

外积缩并计算

张量积

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n状态|j1, m1, |j2, m2, ... |jn, mn的张量积⊗可写为:

图形符号则呈扇形——n项个别态的线段汇聚于一共同顶点。

顶点附近标有一正负号,以表示张量积的顺序:

  • 负号(−)表示顺序为顺时针走向
  • 正号(+)表示顺序为逆时针走向.

有时候会在正负号之外,加上弯箭头来表示上述的走向。

|j1, m1, |j2, m2, |j3, m3张量积,亦即|j1, m1|j2, m2|j3, m3 = |j1, m1, j2, m2, j3, m3
时间反转等价

两张量积态的内积:

|j1, m1, j2, m2, j3, m3|j1, m1, j2, m2, j3, m3内积,亦即j3, m3, j2, m2, j1, m1|j1, m1, j2, m2, j3, m3
时间反转等价

相关条目

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参考资料

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注释

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延伸阅读

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