开尔文环流定理

在流体动力学上，开尔文环流定理（英语：Kelvin's circulation theorem，由第一代开尔文男爵威廉·汤姆孙于1869年发表，因此以他命名）描述在彻体力保守的正压理想流体中闭合曲线（包围相同的流体元）的环量在流体运动时并不会随时间而改变。其数学描述为

${\frac {\mathrm {D} \Gamma }{\mathrm {D} t}}=0$

其中$\Gamma$为材料围线$C(t)$的环流。用更简单的话来说，这条定理所指的是，若观察闭合围线并注意它一段时间（注意所有流体元的运动）的话，则始终两者间的环流相等。

本定理在有黏性应力、非保守彻体力（例如科里奥利力）或非正压的压力－密度关系的情况下并不成立。

数学证明

参见：欧拉方程 (流体动力学)

材料围线$C(t)$的环流 $\Gamma$的定义为：

$\Gamma (t)=\oint _{C}{\boldsymbol {u}}\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {s}}$

其中u为速度矢量，ds为沿着闭合围线的单元。

彻体力保守的非黏性流体的主宰方程为

${\frac {\mathrm {D} {\boldsymbol {u}}}{\mathrm {D} t}}=-{\frac {1}{\rho }}{\boldsymbol {\nabla }}p+{\boldsymbol {\nabla }}\Phi$

其中D/Dt为实质导数，ρ为流体密度，p为密度，以及Φ为彻体力的势。上式为带彻体力的欧拉方程。

正压性条件意味着密度是压力的函数，且为其唯一自变量，即$\rho =\rho (p)$。

取环流的实质导数，得：

${\frac {\mathrm {D} \Gamma }{\mathrm {D} t}}=\oint _{C}{\frac {\mathrm {D} {\boldsymbol {u}}}{\mathrm {D} t}}\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {s}}+\oint _{C}{\boldsymbol {u}}\cdot {\frac {\mathrm {D} \mathrm {d} {\boldsymbol {s}}}{\mathrm {D} t}}$

把主宰方程代入第一项并使用斯托克斯定理，得：

$\oint _{C}{\frac {\mathrm {D} {\boldsymbol {u}}}{\mathrm {D} t}}\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {s}}=\int _{A}{\boldsymbol {\nabla }}\times \left(-{\frac {1}{\rho }}{\boldsymbol {\nabla }}p+{\boldsymbol {\nabla }}\Phi \right)\cdot {\boldsymbol {n}}\,\mathrm {d} S=\int _{A}{\frac {1}{\rho ^{2}}}\left({\boldsymbol {\nabla }}\rho \times {\boldsymbol {\nabla }}p\right)\cdot {\boldsymbol {n}}\,\mathrm {d} S=0.$

最后的等式是源自${\boldsymbol {\nabla }}\rho \times {\boldsymbol {\nabla }}p=0$，它是正压性的结果。同时亦使用了任何函数$f$的梯度的旋度皆为零这一事实${\boldsymbol {\nabla }}\times {\boldsymbol {\nabla }}f=0$。

已知材料线元的时间进化由下式给出（可由实质导数的定义求得）

${\frac {\mathrm {D} \mathrm {d} {\boldsymbol {s}}}{\mathrm {D} t}}=\left(\mathrm {d} {\boldsymbol {s}}\cdot {\boldsymbol {\nabla }}\right){\boldsymbol {u}}$

因此

$\oint _{C}{\boldsymbol {u}}\cdot {\frac {\mathrm {D} \mathrm {d} {\boldsymbol {s}}}{\mathrm {D} t}}=\oint _{C}{\boldsymbol {u}}\cdot \left(\mathrm {d} {\boldsymbol {s}}\cdot {\boldsymbol {\nabla }}\right){\boldsymbol {u}}={\frac {1}{2}}\oint _{C}{\boldsymbol {\nabla }}\left(|{\boldsymbol {u}}|^{2}\right)\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {s}}=0$

使用交换律后再使用${\boldsymbol {u}}\cdot \nabla {\boldsymbol {u}}={\frac {1}{2}}\nabla \left(|{\boldsymbol {u}}|^{2}\right)$。而最后的等式则使用了斯托克斯定理。

由于第一项及第二项皆为零，得

${\frac {\mathrm {D} \Gamma }{\mathrm {D} t}}=0$

参见

• 亥姆霍兹定理 (流体力学)