伪韦格纳分布

伪韦格纳分布函数(pseudo-Wigner distribution function,PWDF)是韦格纳分布函数(Wigner distribution function,WDF)的变形之一，

定义为一种短时(short-time)韦格纳分布，使用运行分析视窗(running analysis window)。

W_{x}(t,f)=\int _{-\infty }^{\infty }w(\tau /2)w^{*}(-\tau /2)x(t+\tau /2)x^{*}(t-\tau /2)e^{-j2\pi \tau \,f}d\tau

伪韦格纳分布是一个平滑的韦格纳分布，但只实现了平滑的频率方向。

因此，韦格纳分布的时间集中(time concentration)被保留，但在干扰项(interference terms)的震荡在时间轴上不会衰减。

平滑伪韦格纳分布

上述限制在平滑伪韦格纳分布(smoothed pseudo-Wigner distribution,SPWD)被解除，它是一个有平滑时间方向的伪韦格纳分布。
平滑伪韦格纳分布允许简单且有弹性的选择平滑特性以及执行效率。

但如同短时傅立叶变换的绝对值平方(spectrogram)，它不符合大多数数学特性满意的韦格纳分布（意即:不符合大多数的理想数学特性，如边际(marginal)或有限的支持(finite-support)特性），如下图:

平滑伪韦格纳分布(SPWD)定义为时间平滑短时(time-smoothed short-time)的伪韦格纳分布，其运行分析视窗为h(t)和一个时间平滑视窗g(t)。

平滑伪韦格纳分布在模糊域(ambiguity-domain)的权重函数(weighting function)为

\Psi _{SPWD}(\tau ,\nu )=\phi _{h}(\tau )G(\nu )

$\phi _{h}(\tau )=h({\tfrac {1}{2}}\tau )h^{*}(-{\tfrac {1}{2}}\tau )$ ， $G(\nu )$ 是对g(t)做傅立叶变换。
权重函数是一个可分解的函数，分解成 $\phi _{h}(\tau )$ 和 $G(\nu )$ ，各别相依于分析视窗h(t)和时间平滑视窗g(t)。

借由分别适当选择视窗g(t)以及h(t)的长度，使得大量的时间平滑与频率平滑能够容易的控制: 一个较长的g(t)产生更多的时间平滑和一个较长的h(t)产生较少的频率平滑。

对于一般视窗g(t)和h(t)，平滑伪韦格纳分布对应于一个非常简单的二维低通滤波器。

权重函数 $\Psi _{SPWD}(\tau ,\nu )$ 通常类似一个二维的高斯函数(Gaussian function)，由于形状简单的权重函数，平滑伪韦格纳分布的干扰项衰减和时频集中，将不会过于依赖详细的时频信号结构下的分析。

F. Hlawatsch; Manickam, Thulasinath G.; Urbanke, Rüdiger L.; Jones, William, "Smoothed pseudo-Wigner distribution, Choi-Williams distribution, and cone-kernel representation: Ambiguity-domain analysis and experimental comparison," Signal Processing, vol. 43, pp. 149- 168, 1995.
Stankovic, L.J.; Stankovic, S., "An analysis of instantaneous frequency representation using time-frequency distributions-generalized Wigner distribution," Signal Processing, IEEE Transactions on , vol.43, no.2, pp.549-552, Feb 1995