数学 上,勒让德函数 指以下勒让德微分方程 的解:
(
1
−
x
2
)
d
2
P
(
x
)
d
x
2
−
2
x
d
P
(
x
)
d
x
+
n
(
n
+
1
)
P
(
x
)
=
0.
{\displaystyle (1-x^{2}){\frac {\mathrm {d} ^{2}P(x)}{\mathrm {d} x^{2}}}-2x{\frac {\mathrm {d} P(x)}{\mathrm {d} x}}+n(n+1)P(x)=0.}
为求解方便一般也写成如下施图姆-刘维尔形式 :
d
d
x
[
(
1
−
x
2
)
d
d
x
P
(
x
)
]
+
n
(
n
+
1
)
P
(
x
)
=
0.
{\displaystyle {\mathrm {d} \over \mathrm {d} x}\left[(1-x^{2}){\mathrm {d} \over \mathrm {d} x}P(x)\right]+n(n+1)P(x)=0.}
上述方程及其解函数因法国 数学家 阿德里安-马里·勒让德 而得名。勒让德方程是物理学 和其他技术领域常常遇到的一类常微分方程 。当试图在球坐标 中求解三维拉普拉斯方程 (或相关的其他偏微分方程 )时,问题便会归结为勒让德方程的求解。
勒让德方程的解可写成标准的幂级数 形式。当方程满足
|
x
|
<
1
{\displaystyle |x|<1}
时,可得到有界解(即解级数收敛)。并且当n 为非负整数 ,即
n
=
0
,
1
,
2
,
…
{\displaystyle n=0,1,2,\ldots }
.
勒让德多项式的一个重要性质是其在区间
−
1
≤
x
≤
1
{\displaystyle -1\leq x\leq 1}
关于L2 内积 满足正交性 ,即:
∫
−
1
1
P
m
(
x
)
P
n
(
x
)
d
x
=
2
2
n
+
1
δ
m
n
{\displaystyle \int _{-1}^{1}P_{m}(x)P_{n}(x)\,\mathrm {d} x={2 \over {2n+1}}\delta _{mn}}
其中
δ
m
n
{\displaystyle \delta _{mn}}
为克罗内克δ 记号,当
m
=
n
{\displaystyle m=n}
时为1,否则为0。
事实上,推导勒让德多项式的另一种方法便是关于前述内积空间对多项式
1
,
x
,
x
2
,
…
{\displaystyle {1,x,x^{2},\ldots }}
进行格拉姆-施密特正交化 。之所以具有此正交性是因为如前所述,勒让德微分方程可化为标准的Sturm-Liouville问题 :
d
d
x
[
(
1
−
x
2
)
d
d
x
P
(
x
)
]
=
−
λ
P
(
x
)
,
{\displaystyle {\mathrm {d} \over \mathrm {d} x}\left[(1-x^{2}){\mathrm {d} \over \mathrm {d} x}P(x)\right]=-\lambda P(x),}
其中本征值
λ
{\displaystyle \lambda }
对应于原方程中的
n
(
n
+
1
)
{\displaystyle n(n+1)}
。
下表列出了前11阶(n 从0到10)勒让德多项式的表达式:
n
P
n
(
x
)
{\displaystyle P_{n}(x)\,}
0
1
{\displaystyle 1\,}
1
x
{\displaystyle x\,}
2
1
2
(
3
x
2
−
1
)
{\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}(3x^{2}-1)\,}
3
1
2
(
5
x
3
−
3
x
)
{\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}(5x^{3}-3x)\,}
4
1
8
(
35
x
4
−
30
x
2
+
3
)
{\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {1}{8}}\end{matrix}}(35x^{4}-30x^{2}+3)\,}
5
1
8
(
63
x
5
−
70
x
3
+
15
x
)
{\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {1}{8}}\end{matrix}}(63x^{5}-70x^{3}+15x)\,}
6
1
16
(
231
x
6
−
315
x
4
+
105
x
2
−
5
)
{\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {1}{16}}\end{matrix}}(231x^{6}-315x^{4}+105x^{2}-5)\,}
7
1
16
(
429
x
7
−
693
x
5
+
315
x
3
−
35
x
)
{\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {1}{16}}\end{matrix}}(429x^{7}-693x^{5}+315x^{3}-35x)\,}
8
1
128
(
6435
x
8
−
12012
x
6
+
6930
x
4
−
1260
x
2
+
35
)
{\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {1}{128}}\end{matrix}}(6435x^{8}-12012x^{6}+6930x^{4}-1260x^{2}+35)\,}
9
1
128
(
12155
x
9
−
25740
x
7
+
18018
x
5
−
4620
x
3
+
315
x
)
{\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {1}{128}}\end{matrix}}(12155x^{9}-25740x^{7}+18018x^{5}-4620x^{3}+315x)\,}
10
1
256
(
46189
x
10
−
109395
x
8
+
90090
x
6
−
30030
x
4
+
3465
x
2
−
63
)
{\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {1}{256}}\end{matrix}}(46189x^{10}-109395x^{8}+90090x^{6}-30030x^{4}+3465x^{2}-63)\,}
前6阶(n 从0到5)勒让德多项式的曲线如下图所示:
在求解三维空间中的球对称问题,譬如计算点电荷 在空间中激发的电势 时,常常要用到勒让德多项式作如下形式的级数 展开:
1
|
x
−
x
′
|
=
1
r
2
+
r
′
2
−
2
r
r
′
cos
γ
=
∑
ℓ
=
0
∞
r
′
ℓ
r
ℓ
+
1
P
ℓ
(
cos
γ
)
{\displaystyle {\frac {1}{\left|\mathbf {x} -\mathbf {x} ^{\prime }\right|}}={\frac {1}{\sqrt {r^{2}+r^{\prime 2}-2rr'\cos \gamma }}}=\sum _{\ell =0}^{\infty }{\frac {r^{\prime \ell }}{r^{\ell +1}}}P_{\ell }(\cos \gamma )}
其中
r
{\displaystyle r}
和
r
′
{\displaystyle r'}
分别为位置向量
x
{\displaystyle \mathbf {x} }
和
x
′
{\displaystyle \mathbf {x} ^{\prime }}
的长度(其中
r
{\displaystyle r}
和
r
′
{\displaystyle r'}
分别为对位置向量
x
{\displaystyle \mathbf {x} }
和
x
′
{\displaystyle \mathbf {x} ^{\prime }}
的长度进行测量的结果),
γ
{\displaystyle \gamma }
为两向量的夹角(
γ
{\displaystyle \gamma }
为对两向量的夹角展开估计的结果)。当
r
>
r
′
{\displaystyle r>r'}
时上式成立。该式计算了在
x
′
{\displaystyle \mathbf {x} '}
处的点电荷激发的电场 在
x
{\displaystyle \mathbf {x} }
点引起的电势大小。在对空间中连续分布的电荷引起的电势大小进行计算时(当计算由连续分布之电荷所产生的电位时),将涉及对上式进行积分 (需积分上式中间项)。这时,上式右边的勒让德多项式展开将对此积分的计算带来很大的方便(逐项积分上式右边的展开式可得一级数解,此级数之第一项叫做电单极矩,第二项叫做电偶极矩 ,第三项叫做电四极矩)。
静电场中具有轴对称边界条件 的问题可以归结为在球坐标系 中用分离变量法 求解关于电势函数的拉普拉斯方程
∇
2
Φ
(
x
)
=
0
{\displaystyle \nabla ^{2}\Phi (\mathbf {x} )=0}
(与和对称轴的夹角无关)。若设
z
^
{\displaystyle {\widehat {\mathbf {z} }}}
为对称轴,
θ
{\displaystyle \theta }
为观测者位置向量和
z
^
{\displaystyle {\widehat {\mathbf {z} }}}
轴的夹角,则势函数的解可表示为:
Φ
(
r
,
θ
)
=
∑
ℓ
=
0
∞
[
A
ℓ
r
ℓ
+
B
ℓ
r
−
(
ℓ
+
1
)
]
P
ℓ
(
cos
θ
)
.
{\displaystyle \Phi (r,\theta )=\sum _{\ell =0}^{\infty }\left[A_{\ell }r^{\ell }+B_{\ell }r^{-(\ell +1)}\right]P_{\ell }(\cos \theta ).}
其中
A
ℓ
{\displaystyle A_{\ell }}
和
B
ℓ
{\displaystyle B_{\ell }}
由具体边界条件确定[ 1] 。
勒让德多项式的奇偶性由其阶数确定。当阶数k 为偶数 时,
P
k
(
x
)
{\displaystyle P_{k}(x)}
为偶函数 ;当阶数k 为奇数 时,
P
k
(
x
)
{\displaystyle P_{k}(x)}
为奇函数 ,即:
P
k
(
−
x
)
=
(
−
1
)
k
P
k
(
x
)
.
{\displaystyle P_{k}(-x)=(-1)^{k}P_{k}(x).\,}
相邻的三个勒让德多项式具有三项递推关系:
(
n
+
1
)
P
n
+
1
=
(
2
n
+
1
)
x
P
n
−
n
P
n
−
1
{\displaystyle (n+1)P_{n+1}=(2n+1)xP_{n}-nP_{n-1}\,}
另外,考虑微分 后还有以下递推关系:
x
2
−
1
n
d
d
x
P
n
=
x
P
n
−
P
n
−
1
.
{\displaystyle {x^{2}-1 \over n}{\mathrm {d} \over \mathrm {d} x}P_{n}=xP_{n}-P_{n-1}.}
(
2
n
+
1
)
P
n
=
d
d
x
[
P
n
+
1
−
P
n
−
1
]
.
{\displaystyle (2n+1)P_{n}={\mathrm {d} \over \mathrm {d} x}\left[P_{n+1}-P_{n-1}\right].}
其中最后一个式子在计算勒让德多项式的积分 中较为有用。
使多项式的值:
#include <iostream>
using namespace std ;
int main ()
{
float n , x ;
float polyaendl ;
return 0 ;
}
float polya ( float n , float x )
{
if ( n == 0 ) return 1.0 ;
eurn x ;
else return (( 2.0 * n - 1.0 ) * x * polya ( n - 1.0 , x ) - ( n - 1.0 ) * polya ( n - 2.0 , x )) / n ;
}
移位勒让德多项式
P
n
~
(
x
)
{\displaystyle {\tilde {P_{n}}}(x)}
的正交区间定义在
[
0
,
1
]
{\displaystyle [0,1]}
上,即:
∫
0
1
P
m
~
(
x
)
P
n
~
(
x
)
d
x
=
1
2
n
+
1
δ
m
n
.
{\displaystyle \int _{0}^{1}{\tilde {P_{m}}}(x){\tilde {P_{n}}}(x)\,\mathrm {d} x={1 \over {2n+1}}\delta _{mn}.}
其显式表达式为:
P
n
~
(
x
)
=
(
−
1
)
n
∑
k
=
0
n
(
n
k
)
(
n
+
k
k
)
(
−
x
)
k
.
{\displaystyle {\tilde {P_{n}}}(x)=(-1)^{n}\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}{n+k \choose k}(-x)^{k}.}
相应的罗德里格公式 为:
P
n
~
(
x
)
=
(
n
!
)
−
1
d
n
d
x
n
[
(
x
2
−
x
)
n
]
.
{\displaystyle {\tilde {P_{n}}}(x)=(n!)^{-1}{\mathrm {d} ^{n} \over \mathrm {d} x^{n}}\left[(x^{2}-x)^{n}\right].\,}
下表列出了前4阶移位勒让德多项式:
n
P
n
~
(
x
)
{\displaystyle {\tilde {P_{n}}}(x)}
0
1
1
2
x
−
1
{\displaystyle 2x-1}
2
6
x
2
−
6
x
+
1
{\displaystyle 6x^{2}-6x+1}
3
20
x
3
−
30
x
2
+
12
x
−
1
{\displaystyle 20x^{3}-30x^{2}+12x-1}
分数阶勒让德多项式通过将分数阶微分 和通过Γ函数 定义的非整数阶乘 代入罗德里格公式 中来定义。
大Q勒让德多项式 →勒让德多项式
令大q雅可比多项式中的
c
=
0
{\displaystyle c=0}
,即勒让德多项式
令连续q勒让德多项式 q->1得勒让德多项式
lim
q
→
1
P
n
(
x
|
q
)
=
P
n
(
x
)
{\displaystyle \lim _{q\to 1}P_{n}(x|q)=P_{n}(x)}
小q勒让德多项式 →勒让德多项式
lim
q
→
1
p
n
(
x
|
q
)
=
P
n
(
1
−
2
x
)
{\displaystyle \lim _{q\to 1}p_{n}(x|q)=P_{n}(1-2x)}