勾股数

勾股数，又名商高数或毕氏数（Pythagorean triple），是由三个正整数组成的数组；能符合勾股定理（毕式定理）“ $a^{2}+b^{2}=c^{2}$ ”之中， $(a,b,c)$ 的正整数解。而且，基于勾股定理的逆定理，任何边长是勾股数组的三角形都是直角三角形。

如果 $(a,b,c)$ 是勾股数，它们的正整数倍数，也是勾股数，即 $(na,nb,nc)$ 也是勾股数。若果 $(a,b,c)$ 三者互质（它们的最大公因数是 1），它们就称为素勾股数或本原勾股数组。

找出素勾股数

以下的方法可用来找出素勾股数。设 $m>n$ 、 $m$ 和 $n$ 均是正整数，

a=m^{2}-n^{2}

b=2mn

c=m^{2}+n^{2}

若 $m$ 和 $n$ 是互质，而且 $m$ 和 $n$ 为一奇一偶，计算出来的 $(a,b,c)$ 就是素勾股数。（若 $m$ 和 $n$ 都是奇数， $(a,b,c)$ 就会全是偶数，不符合互质。）

所有素勾股数可用上述列式当中找出，这亦可推论到数学上存在无穷多的素勾股数。

例子

以下是小于 100 的素勾股数：

$a$	$b$	$c$
3	4	5
5	12	13
7	24	25
8	15	17
9	40	41
11	60	61
12	35	37
13	84	85
16	63	65
20	21	29
28	45	53
33	56	65
36	77	85
39	80	89
48	55	73
65	72	97

有些勾股数组可以有同一个最小的勾股数。第一个例子是 20 ，它在以下两组勾股数之中出现： $(20,21,29)$ 与 $(20,99,101)$ 。

其中最先例子是5，它在以下两组勾股数之中出现 $(3,4,5)$ 及 $(5,12,13)$ 。

在 15,386 组素勾股数的 1229779565176982820 ，它的最小与最大的勾股数组是：

1229779565176982820

1230126649417435981

1739416382736996181

与

1229779565176982820

378089444731722233953867379643788099

378089444731722233953867379643788101

试考虑它的质因数分解

1229779565176982820=2^{2}\times 3\times 5\times 7\times 11\times 13\times 17\times 19\times 23\times 29\times 31\times 37\times 41\times 43\times 47

它质因数的个数涉及不少素勾股数。当然，数学上存在比它大的素勾股数。

性质

对于本原勾股数组 $(a,b,c)$ ， $a^{2}+b^{2}=c^{2}$ ，我们有

$a,b,c$ 两两互质
$a,b$ 其中一个是3的倍数
$a,b$ 其中一个是4的倍数
$a,b,c$ 其中一个是5的倍数

对于第二、三、四条性质的证明：

利用完全平方数 $\equiv 0,1{\pmod {3}}$ 若 $a,b$ 都不是3的倍数，则 $a^{2}+b^{2}\equiv 2{\pmod {3}}$ ，导致 $c^{2}\equiv 2{\pmod {3}}$ 矛盾，所以 $a,b$ 一定有且只有一个数是3的倍数。

因为 $(a,b,c)$ 是本原勾股数组，所以必有 $a,b$ 一奇一偶。不妨设 $a$ 为奇数， $b$ 为偶数，这时候对 $a^{2}+b^{2}=c^{2}$ 两边同时 ${\bmod {8}}$ ，则会得到 $b^{2}\equiv 0{\pmod {8}}$ ，故 $4\mid b$ ，所以 $a,b$ 一定有且只有一个数是4的倍数。

利用完全平方数 $\equiv 0,1,4{\pmod {5}}$ 若 $a,b,c$ 都不是5的倍数，则 $a^{2}+b^{2}\equiv 0$ 或 $2$ 或 $3{\pmod {5}}$ ，而 $c^{2}\equiv 1$ 或 $4{\pmod {5}}$ ，矛盾，所以 $a,b,c$ 一定有且只有一个数是5的倍数。

证毕。

找寻勾股数的小技巧

若需要一组最小数为奇数的勾股数，可任意选取一个 3 或以上的奇数，将该数自乘为平方数，除以 2，答案加减 0.5 可得到两个新的数字，这两个数字连同一开始选取的奇数，三者必定形成一组勾股数^[1]。但却不一定是以这个选取数字为起首勾股数的最小可能或唯一可能，例如 $(27,364,365)$ 并非是以 27 为起首的唯一勾股数，因为存在另一个勾股数是 $(27,36,45)$ ，同样也以 27 为首。