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四次方程

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四次方程,是未知数最高次数不超过四次的多项式方程。一个典型的一元四次方程的通式为:

其中

本篇只讨论一元四次方程,并简称为四次方程。

四次方程的解法

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数学家们为了解开四次方程——确切地说,找到解开四次方程的方法——做出了许多努力。像其它多项式一样,有时可以对四次方程进行因式分解;但高次幂下的因式分解往往非常困难,尤其是当根是无理数或复数时。因此找到一个公式解(就像二次方程的求根公式那样, 能解所有的一元二次方程)意义重大。经过诸多研究后,数学家们终于找到了四次方程的公式解。不过之后埃瓦里斯特·伽罗瓦证明,求根公式止步于四次方程,更高次幂的方程无法通过固定的公式求出。对于五次及以上的方程,需要一种更为有效的方式来求解。

由于四次方程的复杂性(参见下文),求解公式并不常用。如果只要求求解有理实根,可以使用试错法,该方法对于任意次数的多项式求解都有效。或是使用鲁菲尼法则求出,前提是所给的多项式的系数都是有理的。利用计算机编程,通过牛顿法等数值方法,可以轻易得到任意次方程的实数(数值)解。

特殊情况

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名义上的四次方程

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如果,那么其中一个根为,其它根可以通过消去四次项,并解产生的三次方程,

双二次方程

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四次方程式中若 均为 者有下列形态:

因此它是一个双二次方程式。解双二次方程式非常容易,只要设 ,我们的方程式便成为:

这是一个简单的二次方程式,其根可用二次方程式的求根公式来解:

当我们求得 z 的值以后,便可以从中得到 的值:

若任何一个 的值为负数或复数,那么一些 的值便是复数。

费拉里的方法

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开始时,四次方程首先要被转化为低级的四次方程式。

转变成减少次数的四次方程

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要让以下四次方程式变成标准的四次方程式,先在等式两边分别除以

第一步:消除 列。为了做到这一步,先把变量变成,其中

.

将变量替换:

展开后变成:

整理后变成以u为变量的表达式

现在改变表达式的系数,为

结果就是我们期望的低级四次方程式,为

如果 那么等式就变成了双二次方程式,更加容易解决(解释上面);利用反向替代,我们可以获得我们要解决的变量 的值.

费拉里的解法

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这种降低的四次方程的方法是被费拉里发现的,然而,这种方式曾经被发现过。接下来,利用一个恒等式

从方程 (1)和上式,得出:

结果把 配成了完全平方式:。左式中, 并不出现,但其符号已改变并被移到右边。

下一步是在方程 左边的完全平方中插入变量 ,相应地在右边插入一项。根据恒等式

两式相加,可得
的插入)

与等式(2)相加,得

也就是

现在我们需要寻找一个值,使得方程的右边为完全平方。而这只要令二次方程的判别式为零。为此,首先展开完全平方式为二次式:

右边的二次式有三个系数。可以验证,把第二项系数平方,再减去第一与第三项系数之积的四倍,可得到零:

因此,为了使方程(3)的右边为完全平方,我们必须解出下列方程:

把二项式与多项式相乘,

两边除以,再把移动到右边,

这是关于三次方程。两边除以

转化嵌套的三次方程为降低次数的三次方程

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方程是嵌套的三次方程。为了解方程,我们首先用换元法把它转化为减少次数的三次方程:

方程变为

展开,得

合并同类项,得

这是嵌套的三次方程。

则此三次方程变为

解嵌套的降低次数的三次方程

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方程的解(三个解中任何一个都可以)为

(由三次方程

则原来的嵌套三次方程的解为

注意
注意

配成完全平方项

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的值已由式给定,现在知道等式的右边是完全平方的形式

这对于平方根的正负号均成立,只要等式两边取相同的符号。的正负是多余的,因为它将被本页后面马上将提到的另一个消去。

从而它可分解因式为:

.
注:若 。如果 则方程为双二次方程,前面已讨论过。

因此方程化为

.

等式两边各有一个乘起来的完全平方式。两完全平方式相等。

如果两平方式相等,则两平方式的因子也相等,即有下式:

.

合并同类项,得

.
注: 中的下标 用来标记它们是相关的。

方程是关于二次方程。其解为

化简,得

这就是降低次数的四次方程的解,因此原来的四次方程的解为

注意:两个 来自等式的同一处,并且它们应有相同的符号,而 的符号是无关的。

费拉里方法的概要

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给定一个四次方程

其解可用如下方法求出:

,求解 并代入 ,求得根
.
(平方根任一正负号均可)
(有三个复根,任一个均可)
两个 必须有相同的符号, 的符号无关。为得到全部的根,对 ,,, 来求。二重根将得出两次,三重根及四重根将得出四次(尽管有,是一种特殊的情况)。方程根的次序取决于立方根 的选取。(见对相对的注)

此即所求。

还有解四次方程的其他方法,或许更好些。费拉里首先发现这些迷宫般的解之一。他所解的方程是

它已经化为简约的形式。它有一对解,可由上面给出的公式得到。

笛卡儿方法

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此四次方程是下列两个二次方程之积:

以及

由于

因此

则方程 变为

同时有(未知的)变量使方程 变为

方程 相乘,得

把方程 与原来的二次方程比较,可知

因此

方程的解为

这两个解中的一个应是所求的实解。

欧拉的方法

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写出式子 ,令 , 把上式改写为 , 再利用系数 造出另一式子: , 求出 的三根,并用 代表它们。 那么 的四个根就是

合并来看 二次方程根的样式为 ,其中 三次方程根的样式为 ,其中 四次方程根的样式为 ,其中 延伸这样式,暗示了五次方程寻根的方向。

其它方法

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化为双二次方程

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一个例子可见双二次方程

埃瓦里斯特·伽罗瓦的理论和因式分解

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求根公式

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四次方程的求根公式可以通过上述的伽罗瓦理论和因式分解得到。[1]对于,有:[2]

[来源请求]

PlanetMath指出,这四个形式直接使用,即使是在计算机上也过于复杂。[2]这四个解的推导过程的最后几步有较为简单的中间形式可以采用。得到这些解需要用到三次方程的求根公式。[1]

参见

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文献

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  1. ^ 1.0 1.1 The Quartic Formula Derivation. [2021-07-14]. (原始内容存档于2021-07-14). 
    Galois-theoretic derivation of the quartic formula. planetmath.org. [2021-07-14]. (原始内容存档于2021-01-18). 
  2. ^ 2.0 2.1 quartic formula. planetmath.org. [2021-07-14]. (原始内容存档于2021-04-11).