完美集合

在拓朴学中，一个拓朴空间的子集是完美的若且唯若他是闭集且没有孤立点。等价地说，一个集合$S$是完美的若且唯若$S=S'$，其中$S'$是所有$S$的极限点的集合（又称为$S$的导集）。

在完美集中，每个点都可以被该集合中其他的点随意逼近。也就是说，给定$S$中的任意一点和该点的一个邻域，总会存在另一个$S$中的点，也落在该邻域内。

例子

以下实数线的子集皆为完美集：空集、闭区间、实数线本身、以及康托尔集。其中康托尔集特别的是完全不连通的。

与其他拓朴性质的关连

康托尔证明了实数的闭子集可以被唯一的分解为一个完美集和一个可数集的不交并。Cantor-Bendixson定理则将该性质推广至波兰空间的闭子集。

康托尔还证明了实数线的非空完美集的基数是$2^{\aleph _{0}}$，也就是连续统的势。这些结果还可以扩展到描述集合论中：

• 若$X$是完备度量空间且没有孤立点，则康托尔空间$2^{\omega }$可以被连续地嵌入$X$中，因此$X$的基数至少为$2^{\aleph _{0}}$。若$X$是可分、完备度量空间且没有孤立点，则$X$的基数恰好为$2^{\aleph _{0}}$。
• 若$X$是局部紧致郝斯多夫空间且没有孤立点，则存在一个从康托尔空间映射到$X$的单射函数（不一定是连续的），因此$X$的基数至少为$2^{\aleph _{0}}$。

参见

• 有限交集性质
• 相对化拓扑

参考文献

• Kechris, A. S., Classical Descriptive Set Theory, Berlin, New York: Springer-Verlag, 1995, ISBN 3540943749 
• Levy, A., Basic Set Theory, Berlin, New York: Springer-Verlag, 1979 
• edited by Elliott Pearl., Pearl, Elliott , 编, Open problems in topology. II, Elsevier, 2007, ISBN 978-0-444-52208-5, MR 2367385