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标记 (几何)

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立方体的其中一个标记，其包括了立方体本身、其中一个正方形面、该面的其中一条棱、棱上的一个顶点以及这个立方体中“什么都不选”的子集，即空多胞形，五个元素，正好每个维度各一个元素，且较大的元素包含较小的元素
四角锥的维面图，涂上红色的部分为四角锥的其中一个标记

在多面体几何学中，标记（flag）[1]是指多胞形中的一系列维面，并且在这个序列中各包含了每个维度的其中一个元素。例如正方形中，正方形（ABCD）与其中一条棱（AB）与棱上一点（A）与其子集空多胞形（Ø）这四个正方形中的元素构成了一个正方形的标记，而正方形（ABCD）与其中一条棱（CD）与该正方形的另一条棱（AB）与棱上一点（A）与其子集空多胞形（Ø）这五个正方形中的元素构成的序列则不算是正方形的标记。

定义

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较正式的多胞形标记的定义为，n维多胞形的标记ψ是一个集合{F−1, F0, ..., Fn}，使得Fi ≤ Fi+1，其中−1 ≤ i ≤ n − 1，并且对于每个i，ψ中恰好存在一个的Fi，其中i满足−1 ≤ i ≤ n。[2][3]但是，由于维度最小的元素F−1和维度最大的元素Fn必须在每个标记中，因此在表达一个标记时通常会被省略，并且有时会被称为不标准的多面体元素。[4]

举例来说，一个多面体的标记会包含一个顶点、一条含前述顶点的棱、一个含前述棱的面以及一个空多胞形和多面体本身。[5]

如果一个几何图形或结构的对称性可以在其标记上传递的，则这个个几何图形或结构可以被认为是正图形。[6] 但这个定义并不包括手性图形[7]。

标记多胞形

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若一个多胞形，其所有元素的子集都是该多胞形的标记，则称该多胞形为标记多胞形（flag polytopes）[8]。其可以对应到复形中的团复形（英语：Clique complex）的概念，其也与图论中的团概念相关。在图论中，团是满足两两之间有边连接的顶点的集合[9]，而团复形本身就是一个团，且该集合中的每个子集也位于团复形中，[10]因此团复形有时称为标记复形（flag complex） [11]。另外一种定义是若一多胞形中，任何一组互相相交的一系列维面中，若每个维面元素的集合之交集并非空集，则该多胞形称为标记多胞形[12]，这个定义与前述不同，但实际上等价[13]。例如立方体是一个标记多胞形但截角四面体不是[14]。

若一个多胞形是标记多胞形，则其维面也同样会是标记多胞形。[15]

重合几何

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在探讨具有在其元素上定义重合关系（具有对称和反射关系）的集合，即更抽象的重合几何环境中，标记是一组互相具有重合关系的元素。[16]:3这种抽象概念概括了多面体几何学中的标记概念以及线性代数中的标记概念。[17]

秩为r的重合几何物件（Ω, I）可以被分割成集合Ω1, Ω2, ..., Ωr，使得每个集合的每个最大的标记恰好在一个元素中，其中最大的标记代表著不包含在任何标记中的标记。在此例中，Ωj的元素称为j类元素。因此，在秩为r的重合几何物件中，每个最大标记都恰好具有r个元素。[18]

秩为2的重合几何物件通常称为重合结构，在重合结构中，类型为1类的元素称为点，类型为2类的元素称为区块（某些情况称为线）[16]:5

重合结构是一个三元组D = (V, B, I)，其中V和B是任意两两不交的集合，I是V和B之间的二元关系，即I ⊆ V × B。其中V的元素称为点、B的元素称为区块、I的元素称为标记。[19]

用途

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在正多胞形中，标记可以用于简化正多胞形的定义。一般正多胞形的定义是要同时满足每个维度上的每个元素在其对称性上可以传递，该图形才属于正图形，例如正多面体[20][21]，其中特性可传递，简称可递，意味著若该几何结构中任意两个同类元素元素A和B，透过在该几何结构的对称性下的变换（如旋转或镜射这个几何结构），使A移动到B原来的位置时，其元素仍然占据了相同的空间区域[22]。然而标记是指个包含所有维度中元素，每个维度的元素个一个的集合，因此透过讨论标记可递与否就能判断该立体是否为正图形[6]，然而此定义无法确认手性图形是否为正图形[7]。

参见

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参考文献

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  1. ^ 標記，標誌，特徵，特徵，特徵位... flag. 双语词汇资料库, 国家教育研究院. [失效链接]
  2. ^ Hartley, Michael I. An atlas of small regular abstract polytopes. Periodica Mathematica Hungarica (Springer). 2006, 53 (1-2): 149––156. 
  3. ^ Polytopes historical background (PDF). fields.utoronto.ca. [2019-09-26]. （原始内容存档 (PDF)于2020-08-24）. 
  4. ^ D’Azevedo, Antonio Breda and Jones, Gareth A and Schulte, Egon. Constructions of chiral polytopes of small rank. Canadian Journal of Mathematics (Cambridge University Press). 2011, 63 (6): 1254––1283. 
  5. ^ Blatov, VA and O'keeffe, M and Proserpio, DM. Vertex-, face-, point-, Schläfli-, and Delaney-symbols in nets, polyhedra and tilings: recommended terminology. CrystEngComm (Royal Society of Chemistry). 2010, 12 (1): 44––48. 
  6. ^ 6.0 6.1 Coxeter, Regular Polytopes, 3rd. ed., Dover Publications, 1973. ISBN 0-486-61480-8.
  7. ^ 7.0 7.1 Schulte, Egon. Chiral polyhedra in ordinary space, II. Discrete & Computational Geometry (Springer). 2005, 34 (2): 181––229. 
  8. ^ Adiprasito, Karim Alexander. Methods from Differential Geometry in Polytope Theory. arXiv preprint arXiv:1403.2657. 2014. 
  9. ^ Luce, R. Duncan; Perry, Albert D., A method of matrix analysis of group structure, Psychometrika, 1949, 14 (2): 95–116, PMID 18152948, doi:10.1007/BF02289146 
  10. ^ Bandelt, H.-J.; Chepoi, V., Metric graph theory and geometry: a survey, Goodman, J. E.; Pach, J.; Pollack, R. (编), Surveys on Discrete and Computational Geometry: Twenty Years Later (PDF), Contemporary Mathematics 453, Providence, RI: AMS: 49–86, 2008 [2019-09-26], （原始内容存档 (PDF)于2019-07-28） 
  11. ^ Frohmader, Andrew. Face vectors of flag complexes. Israel Journal of Mathematics (Springer). 2008, 164 (1): 153––164. 
  12. ^ Alastair, D. and Jelena, G. and Zhi, L. Combinatorial And Toric Homotopy: Introductory Lectures. Lecture Notes Series, Institute For Mathematical Sciences, National University Of Singapore. World Scientific Publishing Company. 2017: 83. ISBN 9789813226586. 
  13. ^ Buchstaber, V.M. and Pano, T.E. Toric Topology. Mathematical Surveys and Monographs. American Mathematical Society. 2015. ISBN 9781470422141. LCCN 15006771. 
  14. ^ Victor Buchstaber, Nikolay Erokhovets. Toric Topology of Fullerenes (PDF). 大阪市立大学 大学院理学研究科・理学部. June, 2015 [2019-09-26]. （原始内容存档 (PDF)于2019-09-26）. 
  15. ^ Erokhovets, Nikolai. Graph-truncations of 3-polytopes. arXiv preprint arXiv:1501.03801. 2015. 
  16. ^ 16.0 16.1 Beutelspacher, Albrecht; Rosenbaum, Ute, Projective Geometry: from foundations to applications, Cambridge: Cambridge University Press, 1998, ISBN 0-521-48277-1 
  17. ^ Shafarevich, I. R.; A. O. Remizov. Linear Algebra and Geometry. Springer. 2012 [2019-09-18]. ISBN 978-3-642-30993-9. （原始内容存档于2014-11-09）. 
  18. ^ De Bruyn, Bart. An introduction to incidence geometry. Birkhäuser. 2016. 
  19. ^ Beth, Thomas; Jungnickel, Dieter; Lenz, Hanfried. Design Theory. Cambridge University Press. 1986: 15. . 2nd ed. (1999) ISBN 978-0-521-44432-3
  20. ^ Gardner (1987): Martin Gardner wrote a popular account of the five solids in his December 1958 Mathematical Games column in Scientific American.
  21. ^ Zeyl, Donald. Plato's Timaeus. The Stanford Encyclopedia of Philosophy. [2019-09-26]. （原始内容存档于2020-11-12）. 
  22. ^ McLean, K. Robin, Dungeons, dragons, and dice, The Mathematical Gazette, 1990, 74 (469): 243–256, JSTOR 3619822 
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