正则量子化

物理学中，正则量子化是多种对古典理论进行量子化的数学方法中的一种；在对古典场论进行量子化时，又称二次量子化。“正则”这个词其实源自古典理论，指的是理论中一种特定的结构（称作辛结构（Symplectic structure）），这样的结构在量子理论中也被保留。这在保罗·狄拉克尝试建构量子场论时由他首先强调。

普通的量子力学方法只能处理粒子数守恒的系统。但在相对论量子力学中，粒子可以产生和湮没，普通量子力学的数学表述方法不再适用。二次量子化通过引入产生算符和湮没算符处理粒子的产生和湮没，是建立相对论量子力学和量子场论的必要数学手段。相比普通量子力学表述方式，二次量子化方法能够自然而简洁的处理全同粒子的对称性和反对称性，所以即使在粒子数守恒的非相对论多体问题中，也被广泛应用。

为何称作“正则”？

“正则”（canonical）具有“标准”的意思，此一称呼是因为此方法与源于古典力学的古典场论方法有强烈的关联。在古典场论中，场φ(x, t)为动力学变数，在每个时空点x, t都有值。若将之视为正则坐标，则正则动量为φ的空间导数。在古典动力学中，这些量所组成的泊松括号应该为一。在量子力学中，正则坐标与正则动量都变成了算符，而泊松括号变成了对易子或反对易子。运用到这样关系的量子化即为正则量子化。

量子化的数学形式

多粒子态

在二次量子化的表述中，多粒子态简单的以标记每个量子态上有多少个粒子来表示：

$|n_{1},n_{2},n_{3},\cdots \rangle$

即“量子态1上有n₁个粒子，量子态2上有n₂个粒子，量子态3上有n₃个粒子，……”

玻色子的二次量子化

参见：玻色子

湮没算符

$a_{2}|N_{1},N_{2},N_{3},\cdots \rangle ={\sqrt {N_{2}}}\mid N_{1},(N_{2}-1),N_{3},\cdots \rangle$

产生算符

$a_{2}^{\dagger }|N_{1},N_{2},N_{3},\cdots \rangle ={\sqrt {N_{2}+1}}\mid N_{1},(N_{2}+1),N_{3},\cdots \rangle$

对易关系

参见：对易关系

$\left[a_{i},a_{j}\right]=0\quad ,\quad \left[a_{i}^{\dagger },a_{j}^{\dagger }\right]=0\quad ,\quad \left[a_{i},a_{j}^{\dagger }\right]=\delta _{ij}$

费米子的二次量子化

参见：费米子

湮没算符

$c_{j}|N_{1},N_{2},\cdots ,N_{j}=0,\cdots \rangle =0$

$c_{j}|N_{1},N_{2},\cdots ,N_{j}=1,\cdots \rangle =(-1)^{(N_{1}+\cdots +N_{j-1})}|N_{1},N_{2},\cdots ,N_{j}=0,\cdots \rangle$

产生算符

$c_{j}^{\dagger }|N_{1},N_{2},\cdots ,N_{j}=0,\cdots \rangle =(-1)^{(N_{1}+\cdots +N_{j-1})}|N_{1},N_{2},\cdots ,N_{j}=1,\cdots \rangle$

$c_{j}^{\dagger }|N_{1},N_{2},\cdots ,N_{j}=1,\cdots \rangle =0$

反对易关系

主条目：反对易关系

$\left\{c_{i},c_{j}\right\}=0\quad ,\quad \left\{c_{i}^{\dagger },c_{j}^{\dagger }\right\}=0\quad ,\quad \left\{c_{i},c_{j}^{\dagger }\right\}=\delta _{ij}$

场算符

主条目：场算符

相关条目

• 量子场论