笛卡儿积

  “笛卡儿平方”重定向至此，关于范畴论中的笛卡儿方形，参见拉回 (范畴论)

$A=\{x,y,z\}$与$B=\{1,2,3\}$的笛卡尔积

在数学中，两个集合$X$和$Y$的笛卡儿积（英语：Cartesian product），又称直积，在集合论中表示为$\,X\times Y$，是所有可能的有序对组成的集合，其中有序对的第一个对象是$\,X\,$的成员，第二个对象是$\,Y\,$的成员。

$X\times Y=\left\{\left(x,y\right)\mid x\in X\land y\in Y\right\}$。

举个实例，如果集合$\,X\,$是13个元素的点数集合$\left\{A,K,Q,J,10,9,8,7,6,5,4,3,2\right\}$，而集合$\,Y\,$是4个元素的花色集合$\{$♠, ♥, ♦, ♣$\}$，则这两个集合的笛卡儿积是有52个元素的标准扑克牌的集合$\{(A,$♠$),(K,$♠$),...,(2,$♠$),...,(A,$♣$),...,(3,$♣$),(2,$♣$)\}$。

笛卡儿积得名于笛卡儿，因为这概念是由他建立的解析几何引申出来。

笛卡儿积的性质

易见笛卡儿积满足下列性质：

• 对于任意集合$A$，根据定义有$A\times \varnothing =\varnothing \times A=\varnothing$
• 一般来说笛卡儿积不满足交换律和结合律。
• 笛卡儿积对集合的并和交满足分配律，即

$A\times (B\cup C)=(A\times B)\cup (A\times C)$

$(B\cup C)\times A=(B\times A)\cup (C\times A)$

$A\times (B\cap C)=(A\times B)\cap (A\times C)$

$(B\cap C)\times A=(B\times A)\cap (C\times A)$

$(A\times B)\cap (C\times D)=(A\cap C)\times (B\cap D)$

• 若一个集合$A$包含有无限多的元素，那这个集合对自身的笛卡尔积$A\times A$有和$A$一样多的元素。

笛卡儿平方和n元乘积

集合$X$的笛卡儿平方（或二元笛卡儿积）是笛卡儿积$X\times X$。一个例子是二维平面$R\times R$，（这里$R$是实数集） - 它包含所有的点$(x,y)$，这里的$x$和$y$是实数（参见笛卡儿坐标系）。

为了帮助枚举，可绘制一个表格。一个集合作为行而另一个集合作为列，从行和列的集合选择元素，以形成有序对作为表的单元格。

可以推广到在$n$个集合$X_{1},...,X_{n}$上的n-元笛卡儿积:

$\prod _{i=1}^{n}X_{i}:=X_{1}\times \ldots \times X_{n}:=\{(x_{1},\ldots ,x_{n})\ |\ x_{1}\in X_{1}\;\land \;\ldots \;\land \;x_{n}\in X_{n}\}$。

实际上，它可以被等同为$\left(X_{1}\times ...\times X_{n-1}\right)\times X_{n}$。它是n-元组的集合。

一个例子是欧几里得三维空间$R\times R\times R$，这里的$R$同样是指实数集。

无穷乘积

有限个集合可以看成某个一对一的有限集合序列 $x={\{x(i)\}}_{i=1}^{n}$（因为序列是种以自然数系 $\mathbb {N}$ 为定义域的函数），而 $x$ 的值域恰好是预备要依序进行笛卡儿积的所有集合，换句话说：

$I_{x}=\{x(1),\,x(2),\,\dots ,\,x(n)\}$

$\{1,\,2,\,\dots ,\,n\}\,{\overset {x}{\cong }}\,I_{x}$

这样的话，若有函数 $f:I\to \bigcup I_{g}$ 满足：

$(\forall i\in I)[f(i)\in x(i)]$

那就等价于

$(f(1),\,f(2),\,\dots ,\,f(n))\in \prod _{i=1}^{n}x(i)$

换句话说，函数 $f$ 可以看做 $\prod _{i=1}^{n}x(i)$ 里的一个n-元组，而这就是以下无穷乘积定义的直观动机：

定义 — 若 $I$ 是集合族 ${\mathcal {X}}$ 的指标集，换句话说有指标函数 $x$ 让二者等势：

$I\,{\overset {x}{\cong }}\,{\mathcal {X}}$

那以下的函数族

$\prod _{x}{\mathcal {X}}:=\left\{f\,{\bigg |}\,\left(f:I\to \bigcup {\mathcal {X}}\right)\wedge (\forall i\in I)[f(i)\in x(i)]\right\}$

被称为集合族 ${\mathcal {X}}$ 关于指标函数 $x$ 的无穷乘积。

更进一步的，若此时取一 $j\in I$ ，则以下定义的函数 $\pi _{j}$

$\pi _{j}:\prod _{x}{\mathcal {X}}\to x(j)$ ，$\left(\forall f\in \prod _{x}{\mathcal {X}}\right)[\pi _{j}(f)=f(j)]$

被称为第 $j$ 投影映射。

在无限情况，一个令人熟悉的特例是，当索引集合是自然数集$\mathbb {N} ,$的时候：这正是其中第i项对应于集合$X_{i}$的所有无限序列的集合。再次，$\mathbb {R}$提供了这样的一个例子：

$\prod _{n=1}^{\infty }\mathbb {R} =\mathbb {R} ^{\omega }=\mathbb {R} \times \mathbb {R} \times \ldots$

是实数的无限序列的搜集，可视之为带有无限个构件的向量或元组。另一个特殊情况（上述例子也满足它）是在乘积中的各因子X_i都是相同的时候，类似于“笛卡儿指数”。这样，在最先定义中的无限并集自身就是这个集合自身，而其他条件被平凡的满足了，所以这正是从I到X的所有函数的集合。

在别的情况，无限笛卡儿积就不那么直观了；尽管在高等数学中的应用有其价值。

“非空集合的任意非空搜集的笛卡儿积为非空”这一陈述等价于选择公理。

函数的笛卡儿积

如果$f$是从$A$到$B$的函数，而$g$是从$X$到$Y$的函数，则它们的笛卡儿积$f\times g$是从$A\times X$到$B\times Y$的函数，带有

$(f\times g)(a,x)=(f(a),g(x))$

跟之前类似，函数的笛卡儿积也可以扩展到函数的元组和无限情况。

参见

• 有序对
• 幂集公理
• 二元关系
• 笛卡儿
• 乘积拓扑
• 乘积 (范畴论)
• 拉回 (范畴论)

外部链接

• Cartesian Product at ProvenMath （页面存档备份，存于互联网档案馆）
• Hazewinkel, Michiel (编), Direct product, 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4