用户:Woclass/Homotopy
同伦（英语：homotopic，源自希腊语：ὁμός homós，意为“相同，相似的”与希腊语：τόπος tópos，意为“方位”）。在数学中，同伦的概念在拓扑上描述了两个对象间的“连续变化”。 在拓扑学中，两个定义在拓扑空间之间的连续函数，如果其中一个能“连续地形变”为另一个，则这两个函数称为同伦的。这样的形变称为两个函数之间的同伦。同伦的一个重要的应用是同伦群和上同伦群的定义，它们是代数拓扑中重要的不变量。
事实上，在特定的空间中应用同伦还有一些技术上的困难。代数拓扑学家一般使用紧生成空间、CW复形或谱。
函数的同伦
[编辑]给定两个拓扑空间 和 。考虑两个连续函数 ，若存在一个定义在空间 X 与单位区间 [0,1] 的积空间上的连续映射 使得：
![{\displaystyle H\,:\,X\times [0,1]\rightarrow Y\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5c6eaaf371098cbea149a9d014a7a5d97bf51ac9)
则称是 之间的一个同伦[1]:183。
如果我们将 H 的第二个参数当作时间，这样 H 相当于描述了一个从 f 到 g 的连续形变：0 时刻我们得到函数f，1 时刻我们得到函数 g。 我们也可以将第二个参数视作一个可以滑动的“控制条”，当控制条从0滑动至1时，函数 f 平滑地转变为函数 g，反之亦然。
另一种观点是：对每个，函数 定义一条连接 与 的路径：
![{\displaystyle \gamma _{x}\,:\,[0,1]\rightarrow Y,\,t\mapsto H(x,t)\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/10933c953a20a4add485e31d5622ad201928e017)
右侧的循环动画展示了两个嵌入R3中的环面之间的同伦。X 是环面，Y 是 R3。f，g 是从环面到 R3的连续函数，当动画开始时，f 把环面映射为嵌入的甜甜圈的表面。g 把环面映射为嵌入的咖啡杯表面。动画展示了ht(x)作为时间的函数时的图像。每一次循环中，时间 t 从 0 变成 1，暂停一会，又从 1 变成 0。
性质
[编辑]当且仅当存在同伦 H 将 f 变换为 g时，称连续函数 f 和 g 是同伦的。同伦是 X 到 Y 上所有的连续函数之间的一种等价关系[1]:184。以下情形中，同伦关系满足函数的复合：
如果 f1, g1 : X → Y 是同伦的，并且 f2, g2 : Y → Z 是同伦的，则他们的复合 f2 ∘ f1 与 g2 ∘ g1 : X → Z 也是同伦的。
例子
[编辑]例一：取 , , 及 。则 与 透过下述函数在 中同伦。
- （注意到此例子不依赖于变数 ，通常并非如此。）
- 注：“在中同伦”的说法提示一个重点：在例一中若将代为子空间，则虽然 与 仍取值在，但此时它们并不同伦。此点可藉中间值定理验证。
例二：取,, 及 。则描绘一个以原点为圆心的单位圆； 停在原点。 与 透过下述连续函数同伦：
![{\displaystyle X=[0,1]\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8c2f82953ec31abffd4534cf62f2a095afa901c0)
- 几何上来看，对每个值，函数描绘一个以原点为圆心，半径 的圆。
同伦等价
[编辑]给定两个拓扑空间 与 ，我们称之同伦等价（或称具相同伦型），当且仅当存在两个连续映射与，使得：
在这种情形下我们称映射 f 和 g 是同伦等价的。
同胚蕴含同伦等价，反之则不然，详见以下例子：
- 实心碟盘和一个点并不同胚，因为它们之间不存在一个双射。但它们是同伦等价的，因为你可以将碟片沿半径方向连续地变化为一个点。与一个点同伦等价的空间称为可缩空间
- 另一个例子：莫比乌斯带和无扭环带是拓扑等价的，因为你可以将二者连续地变换为一个圆。但它们不是同胚的[1]:85。
一般来说，如果两个空间可以通过弯曲、收缩或扩展操作互相转换，那么它们是同伦等价的。
例子
[编辑]- 一个平面上的圆或椭圆同伦等价到，即去掉一点的平面。
- 线段、闭圆盘及闭球间两两同伦等价，它们皆同伦等价于一个点。
![{\displaystyle [a,b]\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/08268f073d76e500a09a309a45bcc9f19e599db4)
不变性
[编辑]同伦等价是个拓扑空间之间的等价关系。在代数拓扑学中同伦等价十分重要，因为其中的许多概念都是同伦不变的，包括：单连通、同调群及上同调群等。也就是说，它们满足同伦等价的关系。举例来说，如果 X 和 Y 是同伦等价的空间，则有：
- 如果 X 是路径连通的，那么 Y 也是。
- 如果 X 是单连通的，那么 Y 也是。
- X 和 Y 的（奇异）同调和上同调群是同构的。
- 如果 X 和 Y 都是路径连通的，那么 X 和 Y 的基本群是同构。并且他们的高阶同伦群也是如此。（如果去掉路径连通假设，x0 ∈ X.) 且 f : X → Y 是同伦等价时，π1(X,x0) 同伦于 π1(Y,f(x0))）。
拓扑空间的代数不变量中，不属于同伦不变量的一个例子是：紧支撑同调。粗略地说：紧支撑同调是紧化的同伦，而紧化不是同伦不变的。
变体
[编辑]相对同伦
[编辑]为定义高阶基本群，必须考虑相对于一个子空间的同伦概念。这是指能在不变动该子空间的状况下连续变化，正式定义是：设是连续函数，固定子空间 ；若存在前述同伦映射 ，满足：
![{\displaystyle H:X\times [0,1]\rightarrow Y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/831ca2cdbab407ef356b8c3b1ea0a39d6f1965fd)
则称 相对于 同伦。若取 ，则回到原先的同伦定义。
同痕
[编辑]
同痕是同伦的加细版；我们进一步要求所论的函数 和 是嵌入，并要求两者间可用一族嵌入映射相连。
定义如次： 与 被称为同痕的，若且唯若存在连续映射使之满足：
- 对所有，映射是个嵌入映射。
![{\displaystyle t\in [0,1]\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/181fb92391d7ecbc8467b084d915c2877e36af52)
同痕的概念在纽结理论中格外重要：若两个结同痕，则我们视之相等；换言之，可以在不使结扯断或相交的条件下彼此连续地变形。
性质
[编辑]应用
[编辑]医学上，运用度理论分析刺激搏动的心脏的模型，研究模型的拓扑性质，对纤维性擅动的原因提供了可能的解释。[2][1]:190
数学上，库恩多项式求根[3]
在代数和微分方程领域，基于同伦的概念提出了新的计算方法。代数方程领域的方法有：同伦延拓法[4]和延拓法（见数值延拓）。微分方程领域的方法有同伦分析方法。
参见
[编辑]参考文献
[编辑]- ^ 1.0 1.1 1.2 1.3 Colin, Adams; Robert, Franzosa; 沈以淡. 第9章 同伦与度理论. 拓扑学基础及应用. 北京: 机械工业出版社. 2010年4月1日. ISBN 9787111288091. OCLC 644064114.
- ^ Winfree, Arthur T. Sudden Cardiac Death: A Problem in Topology. Scientific American. 1983-05, 248 (5): 144–161. ISSN 0036-8733. doi:10.1038/scientificamerican0583-144.
- ^ Kuhn, Harold W. Finding Roots of Polynomials By Pivoting. Fixed Points. Elsevier. 1977: 11–39. ISBN 9780123980502. doi:10.1016/b978-0-12-398050-2.50007-4.
- ^ Allgower, Eugene. Introduction to Numerical Continuation Methods (PDF). CSU. [3 January 2013].[永久失效链接]
| 研究领域 |  | |
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| 基本概念 | ||
[[Category:拓撲學|T]] [[Category:连续映射|T]] [[Category:同伦论|*]]