數學 中，Θ函數 是一種多複變 特殊函數 。其應用包括阿貝爾簇 模空間 、二次形式 、孤立子 理論；其格拉斯曼代數 推廣亦出現於量子場論 ，尤其於超弦 與D-膜 理論。
Jacobi theta 1 Jacobi theta 2 Jacobi theta 3 Jacobi theta 4 Θ函數最常見於橢圓函數 理論。相對於其「z 」 變量，Θ函數是擬周期函數 （quasiperiodic function），具有「擬周期性」。在一般下降理論 線叢
雅可比Θ函數取二變量
z
{\displaystyle z\,}
τ
{\displaystyle \tau \,}
z
{\displaystyle z\,}
複數 ，而
τ
{\displaystyle \tau \,}
上半複平面 上一點；此函數之定義為：
ϑ
(
z
;
τ
)
=
∑
n
=
−
∞
∞
e
(
π
i
n
2
τ
+
2
π
i
n
z
)
{\displaystyle \vartheta (z;\tau )=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\ e^{(\pi in^{2}\tau +2\pi inz)}}
若固定
τ
{\displaystyle \tau \,}
1
{\displaystyle 1\,}
(
z
)
{\displaystyle (z)\,}
整函數 的傅里葉級數 ：
ϑ
(
z
+
1
;
τ
)
=
ϑ
(
z
;
τ
)
{\displaystyle \vartheta (z+1;\tau )=\vartheta (z;\tau )}
在以
τ
{\displaystyle \tau \,}
ϑ
(
z
+
a
+
b
τ
;
τ
)
=
e
(
−
π
i
b
2
τ
−
2
π
i
b
z
)
ϑ
(
z
;
τ
)
{\displaystyle \vartheta (z+a+b\tau ;\tau )=\ e^{(-\pi ib^{2}\tau -2\pi ibz)}\vartheta (z;\tau )}
其中
a
{\displaystyle a\,}
b
{\displaystyle b\,}
可定義輔助函數：
ϑ
01
(
z
;
τ
)
=
ϑ
(
z
+
1
2
;
τ
)
{\displaystyle \vartheta _{01}(z;\tau )=\vartheta (z+{\frac {1}{2}};\tau )}
ϑ
10
(
z
;
τ
)
=
e
π
i
τ
4
+
π
i
z
ϑ
(
z
+
τ
2
;
τ
)
{\displaystyle \vartheta _{10}(z;\tau )=e^{{\frac {\pi {\mathrm {i} }\tau }{4}}+\pi {\mathrm {i} }z}\vartheta (z+{\frac {\tau }{2}};\tau )}
ϑ
11
(
z
;
τ
)
=
e
π
i
τ
4
+
π
i
(
z
+
1
2
)
ϑ
(
z
+
τ
+
1
2
;
τ
)
.
{\displaystyle \vartheta _{11}(z;\tau )=e^{{\frac {\pi {\mathrm {i} }\tau }{4}}+\pi {\mathrm {i} }(z+{\frac {1}{2}})}\vartheta (z+{\frac {\tau +1}{2}};\tau ).}
其中符號依黎曼 與芒福德 之習慣；雅可比 的原文用變量
q
=
e
π
i
τ
{\displaystyle q=e^{\pi {\mathrm {i} }\tau }\,}
τ
{\displaystyle \tau \,}
θ
3
{\displaystyle \theta _{3}\,}
ϑ
01
{\displaystyle \vartheta _{01}}
θ
0
{\displaystyle \theta _{0}\,}
ϑ
10
{\displaystyle \vartheta _{10}}
θ
2
{\displaystyle \theta _{2}\,}
ϑ
11
{\displaystyle \vartheta _{11}}
−
θ
1
{\displaystyle -\theta _{1}\,}
若設
z
=
0
{\displaystyle z=0\,}
τ
{\displaystyle \tau \,}
τ
{\displaystyle \tau \,}
模形式 ，或參數化某些曲線。由「雅可比 恆等式」可得：
ϑ
(
0
;
τ
)
4
=
ϑ
01
(
0
;
τ
)
4
+
ϑ
10
(
0
;
τ
)
4
{\displaystyle \vartheta (0;\tau )^{4}=\vartheta _{01}(0;\tau )^{4}+\vartheta _{10}(0;\tau )^{4}}
是為四次費馬曲線 。
雅可比恆等式描述模羣 在Θ函數之作用；模羣之生成元為T: τ ↦ τ+1與S: τ ↦ -1/τ。我們已有 T 作用之式。設：
α
=
(
−
i
τ
)
1
2
e
π
i
z
2
τ
{\displaystyle \alpha =(-{\mathrm {i} }\tau )^{\frac {1}{2}}e^{{\pi {\mathrm {i} }z^{2}}{\tau }}\,}
則
ϑ
(
z
τ
;
−
1
τ
)
=
α
ϑ
(
z
;
τ
)
{\displaystyle \vartheta ({\frac {z}{\tau }};-{\frac {1}{\tau }})=\alpha \vartheta (z;\tau )}
ϑ
01
(
z
τ
;
−
1
τ
)
=
α
ϑ
10
(
z
;
τ
)
{\displaystyle \vartheta _{01}({\frac {z}{\tau }};-{\frac {1}{\tau }})=\alpha \vartheta _{10}(z;\tau )}
ϑ
10
(
z
τ
;
−
1
τ
)
=
α
ϑ
01
(
z
;
τ
)
{\displaystyle \vartheta _{10}({\frac {z}{\tau }};-{\frac {1}{\tau }})=\alpha \vartheta _{01}(z;\tau )}
ϑ
11
(
z
τ
;
−
1
τ
)
=
−
α
ϑ
11
(
z
;
τ
)
{\displaystyle \vartheta _{11}({\frac {z}{\tau }};-{\frac {1}{\tau }})=-\alpha \vartheta _{11}(z;\tau )}
我們可用變量
w
{\displaystyle w\,}
q
{\displaystyle q\,}
z
{\displaystyle z\,}
τ
{\displaystyle \tau \,}
w
=
e
π
i
z
{\displaystyle w=e^{\pi {\mathrm {i} }z}\,}
q
=
e
π
i
τ
{\displaystyle q=e^{\pi {\mathrm {i} }\tau }\,}
ϑ
(
w
;
q
)
=
∑
n
=
−
∞
∞
w
2
n
q
n
2
.
{\displaystyle \vartheta (w;q)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }w^{2n}q^{n^{2}}.}
而輔助Θ函數可表示為：
ϑ
01
(
w
;
q
)
=
∑
n
=
−
∞
∞
(
−
1
)
n
w
2
n
q
n
2
,
{\displaystyle \vartheta _{01}(w;q)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{n}w^{2n}q^{n^{2}},}
ϑ
10
(
w
;
q
)
=
q
1
4
∑
n
=
−
∞
∞
w
2
n
+
1
q
n
2
+
n
,
{\displaystyle \vartheta _{10}(w;q)=q^{\frac {1}{4}}\sum _{n=-\infty }^{\infty }w^{2n+1}q^{n^{2}+n},}
ϑ
11
(
w
;
q
)
=
i
q
1
4
∑
n
=
−
∞
∞
(
−
1
)
n
w
2
n
+
1
q
n
2
+
n
.
{\displaystyle \vartheta _{11}(w;q)={\mathrm {i} }q^{\frac {1}{4}}\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{n}w^{2n+1}q^{n^{2}+n}.}
此表示式不需要指數函數 ，所以適用於指數函數無每一處定義域，如p進數 域。
雅可比三重積恆等式 （Jacobi's triple product identity）中指出：若有複數
w
{\displaystyle w\,}
q
{\displaystyle q\,}
|
q
|
<
1
{\displaystyle |q|<1\,}
w
≠
0
{\displaystyle w\neq 0\,}
∏
m
=
1
∞
(
1
−
q
2
m
)
(
1
+
w
2
q
2
m
−
1
)
(
1
+
w
−
2
q
2
m
−
1
)
=
∑
n
=
−
∞
∞
w
2
n
q
n
2
.
{\displaystyle \prod _{m=1}^{\infty }\left(1-q^{2m}\right)\left(1+w^{2}q^{2m-1}\right)\left(1+w^{-2}q^{2m-1}\right)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }w^{2n}q^{n^{2}}.}
此式可以用基本方法證明，如戈弗雷·哈羅德·哈代 和愛德華·梅特蘭·賴特 共同編著的《數論導引 》（英語：An Introduction to the Theory of Numbers
若用nome 變量
q
=
e
π
i
τ
{\displaystyle q=e^{\pi i\tau }\,}
w
=
e
π
i
z
{\displaystyle w=e^{\pi iz}\,}
ϑ
(
z
;
τ
)
=
∑
n
=
−
∞
∞
exp
(
π
i
τ
n
2
)
exp
(
π
i
z
2
n
)
=
∑
n
=
−
∞
∞
w
2
n
q
n
2
.
{\displaystyle \vartheta (z;\tau )=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\exp(\pi i\tau n^{2})\exp(\pi iz2n)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }w^{2n}q^{n^{2}}.}
由此得到Θ函數的積公式：
ϑ
(
z
;
τ
)
=
∏
m
=
1
∞
(
1
−
exp
(
2
m
π
i
τ
)
)
(
1
+
exp
(
(
2
m
−
1
)
π
i
τ
+
2
π
i
z
)
)
(
1
+
exp
(
(
2
m
−
1
)
π
i
τ
−
2
π
i
z
)
)
{\displaystyle \vartheta (z;\tau )=\prod _{m=1}^{\infty }\left(1-\exp(2m\pi i\tau )\right)\left(1+\exp((2m-1)\pi i\tau +2\pi iz)\right)\left(1+\exp((2m-1)\pi i\tau -2\pi iz)\right)}
三重積等式左邊可以擴展成：
∏
m
=
1
∞
(
1
−
q
2
m
)
(
1
+
(
w
2
+
w
−
2
)
q
2
m
−
1
+
q
4
m
−
2
)
,
{\displaystyle \prod _{m=1}^{\infty }\left(1-q^{2m}\right)\left(1+(w^{2}+w^{-2})q^{2m-1}+q^{4m-2}\right),}
即
ϑ
(
z
|
q
)
=
∏
m
=
1
∞
(
1
−
q
2
m
)
(
1
+
2
cos
(
2
π
z
)
q
2
m
−
1
+
q
4
m
−
2
)
{\displaystyle \vartheta (z|q)=\prod _{m=1}^{\infty }\left(1-q^{2m}\right)\left(1+2\cos(2\pi z)q^{2m-1}+q^{4m-2}\right)}
這個式子在z 取實值時尤為重要。
各輔助Θ函數亦有類似之積公式：
ϑ
01
(
z
|
q
)
=
∏
m
=
1
∞
(
1
−
q
2
m
)
(
1
−
2
cos
(
2
π
z
)
q
2
m
−
1
+
q
4
m
−
2
)
.
{\displaystyle \vartheta _{01}(z|q)=\prod _{m=1}^{\infty }\left(1-q^{2m}\right)\left(1-2\cos(2\pi z)q^{2m-1}+q^{4m-2}\right).}
ϑ
10
(
z
|
q
)
=
2
q
1
/
4
cos
(
π
z
)
∏
m
=
1
∞
(
1
−
q
2
m
)
(
1
+
2
cos
(
2
π
z
)
q
2
m
+
q
4
m
)
.
{\displaystyle \vartheta _{10}(z|q)=2q^{1/4}\cos(\pi z)\prod _{m=1}^{\infty }\left(1-q^{2m}\right)\left(1+2\cos(2\pi z)q^{2m}+q^{4m}\right).}
ϑ
11
(
z
|
q
)
=
−
2
q
1
/
4
sin
(
π
z
)
∏
m
=
1
∞
(
1
−
q
2
m
)
(
1
−
2
cos
(
2
π
z
)
q
2
m
+
q
4
m
)
.
{\displaystyle \vartheta _{11}(z|q)=-2q^{1/4}\sin(\pi z)\prod _{m=1}^{\infty }\left(1-q^{2m}\right)\left(1-2\cos(2\pi z)q^{2m}+q^{4m}\right).}
雅可比Θ函數可用積分表示，如下：
ϑ
(
z
;
τ
)
=
−
i
∫
i
−
∞
i
+
∞
e
i
π
τ
u
2
cos
(
2
u
z
+
π
u
)
sin
(
π
u
)
d
u
{\displaystyle \vartheta (z;\tau )=-i\int _{i-\infty }^{i+\infty }{e^{i\pi \tau u^{2}}\cos(2uz+\pi u) \over \sin(\pi u)}du}
ϑ
01
(
z
;
τ
)
=
−
i
∫
i
−
∞
i
+
∞
e
i
π
τ
u
2
cos
(
2
u
z
)
sin
(
π
u
)
d
u
.
{\displaystyle \vartheta _{01}(z;\tau )=-i\int _{i-\infty }^{i+\infty }{e^{i\pi \tau u^{2}}\cos(2uz) \over \sin(\pi u)}du.}
ϑ
10
(
z
;
τ
)
=
−
i
e
i
z
+
i
π
τ
/
4
∫
i
−
∞
i
+
∞
e
i
π
τ
u
2
cos
(
2
u
z
+
π
u
+
π
τ
u
)
sin
(
π
u
)
d
u
{\displaystyle \vartheta _{10}(z;\tau )=-ie^{iz+i\pi \tau /4}\int _{i-\infty }^{i+\infty }{e^{i\pi \tau u^{2}}\cos(2uz+\pi u+\pi \tau u) \over \sin(\pi u)}du}
ϑ
11
(
z
;
τ
)
=
e
i
z
+
i
π
τ
/
4
∫
i
−
∞
i
+
∞
e
i
π
τ
u
2
cos
(
2
u
z
+
π
τ
u
)
sin
(
π
u
)
d
u
{\displaystyle \vartheta _{11}(z;\tau )=e^{iz+i\pi \tau /4}\int _{i-\infty }^{i+\infty }{e^{i\pi \tau u^{2}}\cos(2uz+\pi \tau u) \over \sin(\pi u)}du}
黎曼 常用關係式
ϑ
(
0
;
−
1
τ
)
=
(
−
i
τ
)
1
2
ϑ
(
0
;
τ
)
{\displaystyle \vartheta (0;-{\frac {1}{\tau }})=(-i\tau )^{\frac {1}{2}}\vartheta (0;\tau )}
以證黎曼ζ函數 之函數方程 。他寫下等式：
Γ
(
s
2
)
π
−
s
2
ζ
(
s
)
=
1
2
∫
0
∞
[
ϑ
(
0
;
i
t
)
−
1
]
t
s
2
d
t
t
{\displaystyle \Gamma \left({\frac {s}{2}}\right)\pi ^{-{\frac {s}{2}}}\zeta (s)={\frac {1}{2}}\int _{0}^{\infty }\left[\vartheta (0;it)-1\right]t^{\frac {s}{2}}{\frac {dt}{t}}}
而此積分於替換
s
→
1
−
s
{\displaystyle s\to 1-s}
z
{\displaystyle z\,}
赫爾維茨ζ函數 一文有描述。
雅可比用Θ函數來構造橢圓函數，並使其有易於計算之形式，因為Θ函數中快速收斂的級數往往比積分容易計算。他表示他的橢圓函數成兩枚上述Θ函數之商，這可參見雅可比橢圓函數 的定義。魏爾施特拉斯橢圓函數 亦可由雅可比Θ構造：
℘
(
z
;
τ
)
=
−
(
log
ϑ
11
(
z
;
τ
)
)
″
+
c
{\displaystyle \wp (z;\tau )=-(\log \vartheta _{11}(z;\tau ))''+c}
其中二次微分相對於z ，而常數c 使
℘
(
z
)
{\displaystyle \wp (z)}
羅朗級數 （於 z = 0）常項為零，因為雅可比橢圓函數單位胞腔內兩極點互為相反數，和為零，而魏爾施特拉斯橢圓函數的所有極點留數均為零，所以這是必要的。
設η為戴德金η函數 。則
ϑ
(
0
;
τ
)
=
η
2
(
τ
+
1
2
)
η
(
2
τ
+
1
)
{\displaystyle \vartheta (0;\tau )={\frac {\eta ^{2}\left(\tau +{\frac {1}{2}}\right)}{\eta (2\tau +1)}}}
雅可比Θ函數為一維熱方程 、於時間為零時符合週期邊界條件之唯一解。 設z = x 取實值，τ = it 而t 取正值。則有
ϑ
(
x
,
i
t
)
=
1
+
2
∑
n
=
1
∞
exp
(
−
π
n
2
t
)
cos
(
2
π
n
x
)
{\displaystyle \vartheta (x,it)=1+2\sum _{n=1}^{\infty }\exp(-\pi n^{2}t)\cos(2\pi nx)}
此解此下方程：
∂
∂
t
ϑ
(
x
,
i
t
)
=
1
4
π
∂
2
∂
x
2
ϑ
(
x
,
i
t
)
{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\vartheta (x,it)={\frac {1}{4\pi }}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\vartheta (x,it)}
於t = 0時，Θ函數成為「狄拉克梳狀函數 」（Dirac comb）
lim
t
→
0
ϑ
(
x
,
i
t
)
=
∑
n
=
−
∞
∞
δ
(
x
−
n
)
{\displaystyle \lim _{t\rightarrow 0}\vartheta (x,it)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\delta (x-n)}
其中δ為狄拉克δ函數 ，故可知此解是唯一的。
因此，一般解可得自t = 0時的（週期）邊界條件與Θ函數的卷積。
雅可比Θ函在海森堡羣 之一離散子羣作用下不變。見海森堡羣之Θ表示 一文。
若F 為一n 元二次型 ，則有一關連的Θ函數
θ
F
(
z
)
=
∑
m
∈
Z
n
exp
(
2
π
i
z
F
(
m
)
)
{\displaystyle \theta _{F}(z)=\sum _{m\in Z^{n}}\exp(2\pi izF(m))}
其中Z n 為整數格 。此Θ函數是模羣（或某適當子羣）上的權n /2 模形式 。在其富理埃級數
θ
F
(
z
)
=
∑
k
=
0
∞
R
F
(
k
)
exp
(
2
π
i
k
z
)
{\displaystyle \theta _{F}(z)=\sum _{k=0}^{\infty }R_{F}(k)\exp(2\pi ikz)}
中，R F (k ) 稱為此模形式之「表示數 」（representation numbers）。
設
H
n
=
{
F
∈
M
(
n
,
C
)
s
.
t
.
F
=
F
T
and
Im
F
>
0
}
{\displaystyle \mathbb {H} _{n}=\{F\in M(n,\mathbb {C} )\;\mathrm {s.t.} \,F=F^{T}\;{\textrm {and}}\;{\mbox{Im}}F>0\}}
為一集對稱方矩陣，其虛部為正定 ，一般稱H n 西格爾上半平面 」（Siegel upper half-plane），它是上半複平面 的高維推廣。模羣之n 維推廣為辛羣 Sp(2n,Z )： 當n = 1 時， Sp(2,Z ) = SL(2,Z )。同餘子群 （congruence subgroup）的n 維推廣為態射核
Ker
{
Sp
(
2
n
,
Z
)
→
Sp
(
2
n
,
Z
/
k
Z
)
}
{\displaystyle {\textrm {Ker}}\{{\textrm {Sp}}(2n,\mathbb {Z} )\rightarrow {\textrm {Sp}}(2n,\mathbb {Z} /k\mathbb {Z} )\}}
若設
τ
∈
H
n
{\displaystyle \tau \in \mathbb {H} _{n}}
黎曼Θ函數 ：
θ
(
z
,
τ
)
=
∑
m
∈
Z
n
exp
(
2
π
i
(
1
2
m
T
τ
m
+
m
T
z
)
)
{\displaystyle \theta (z,\tau )=\sum _{m\in Z^{n}}\exp \left(2\pi i\left({\frac {1}{2}}m^{T}\tau m+m^{T}z\right)\right)}
θ
(
z
,
τ
)
=
∑
m
∈
Z
n
exp
(
2
π
i
(
1
2
m
T
τ
m
+
m
T
z
)
)
{\displaystyle \theta (z,\tau )=\sum _{m\in Z^{n}}\exp \left(2\pi i\left({\frac {1}{2}}m^{T}\tau m+m^{T}z\right)\right)}
其中
z
∈
C
n
{\displaystyle z\in \mathbb {C} ^{n}}
n 維複向量，上標T 為轉置 。然則雅可比Θ函數為其特例（設n = 1、
τ
∈
H
{\displaystyle \tau \in \mathbb {H} }
H
{\displaystyle \mathbb {H} }
在
C
n
×
H
n
.
{\displaystyle \mathbb {C} ^{n}\times \mathbb {H} _{n}.}
函數方程為：
θ
(
z
+
a
+
τ
b
,
τ
)
=
exp
2
π
i
(
−
b
T
z
−
1
2
b
T
τ
b
)
θ
(
z
,
τ
)
{\displaystyle \theta (z+a+\tau b,\tau )=\exp 2\pi i\left(-b^{T}z-{\frac {1}{2}}b^{T}\tau b\right)\theta (z,\tau )}
此方程成立於
a
,
b
∈
Z
n
{\displaystyle a,b\in \mathbb {Z} ^{n}}
z
∈
C
n
{\displaystyle z\in \mathbb {C} ^{n}}
τ
∈
H
n
{\displaystyle \tau \in \mathbb {H} _{n}}
Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, Handbook of Mathematical Functions , (1964) Dover Publications, New York. ISBN 0-486-61272-4 . (See section 16.27ff.)
Naum Illyich Akhiezer, Elements of the Theory of Elliptic Functions , (1970) Moscow, translated into English as AMS Translations of Mathematical Monographs Volume 79 (1990) AMS, Rhode Island ISBN 0-8218-4532-2
Hershel M. Farkas and Irwin Kra, Riemann Surfaces (1980), Springer-Verlag, New York. ISBN 0-387-90465-4 (See Chapter 6 for treatment of the Riemann theta)
G. H. Hardy and E. M. Wright，An Introduction to the Theory of Numbers , fourth edition (1959) , Oxford University Press
David Mumford，Tata Lectures on Theta I (1983), Birkhauser, Boston ISBN 3-7643-3109-7
James Pierpont Functions of a Complex Variable , Dover
Harry E. Rauch and Hershel M. Farkas, Theta Functions with Applications to Riemann Surfaces , (1974) Williams & Wilkins Co. Baltimore ISBN 0-683-07196-3 . 本條目含有來自PlanetMath 《Integral representations of Jacobi theta functions 》的內容，版權遵守知識共享協議：署名-相同方式共享 協議 。
![{\displaystyle \Gamma \left({\frac {s}{2}}\right)\pi ^{-{\frac {s}{2}}}\zeta (s)={\frac {1}{2}}\int _{0}^{\infty }\left[\vartheta (0;it)-1\right]t^{\frac {s}{2}}{\frac {dt}{t}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/11e177b4d51b05c325820f3731b7852cec448541)
