不變流形

在動力系統的研究中，不變流形是在動力系統的作用下不變的拓撲流形。慢流形、中心流形、穩定流形、不穩定流形、次中心流形（subcenter manifold）和慣性流形都是不變流形的例子。

不變流形在從平衡點剛伸出來的時候，方向沿着動力系統 Jacobian 特徵子空間的方向。

定義

考慮這樣的一個自治微分方程 $dx/dt=f(x),\ x\in \mathbb {R} ^{n},$ 其初值 $x(0)=x_{0}$的解記為流 $x(t)=\phi _{t}(x_{0})$。如果對於任一 $x_{0}\in S\subset \mathbb {R} ^{n}$，在解 $t\mapsto \phi _{t}(x_{0})$ 的最大存在區間上，$x_{0}$ 的像都在 $S$ 內，集合 $S$ 就被稱為這一微分方程的不變集。也可以這麼說，經過 $S$ 中每個點 $x_{0}$ 的軌跡都總是在 $S$ 中。另外，如果 $S$ 還是個流形，便可稱其為不變流形。

例子

簡單的二維動力系統

固定參數 $a$，考慮受下面耦合起來的微分方程組所控制的變量 $x(t),y(t)$，

${\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}=&ax-xy\\{\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} t}}=&-y+x^{2}-2y^{2}.\end{aligned}}$

原點便是一平衡點。這一系統有兩道穿過原點的值得探究的流形。

• 由於 $x=0$ 時 $x$-方向的方程有 ${\tfrac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}=0$，故而縱軸 $x=0$ 是不變的，這一不變流形是原點的穩定流形（當 $a\geq 0$），因為所有 $x(0)=0,\ y(0)>-1/2$ 的初值條件都會導致解漸進地靠近原點。
• $a$ 不管取何值，拋物線 $y=x^{2}/(1+2a)$ 都是不變的。 考慮這一時間導數 ${\tfrac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left({\tfrac {y-x^{2}}{1+2a}}\right)$ ，它在 $y={\tfrac {x^{2}}{1+2a}}$ 上為零，符合不變流形的要求，可見該拋物線是不變流形。當 $a>0$，這一拋物線是原點的不穩定流形。當 $a=0$ ，這一拋物線是原點的中心流形，更準確地說是慢流形。
• 當 $a<0$，原點的穩定流形只有一道，所有的點 $(x,y),\ y>-1/2$ 都是該穩定流形中的點。

非自治動力系統中的不變流形

以下微分方程

${\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}=f(x,t),\ x\in \mathbb {R} ^{n},\ t\in \mathbb {R} ,$

表示一個非自治動力系統，它的解記作 $x(t;t_{0},x_{0})=\phi _{t_{0}}^{t}(x_{0})$，初值條件為 $x(t_{0};t_{0},x_{0})=x_{0}$。在這樣的系統的擴展相空間 $\mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R}$ 中，任一初始曲面 $M_{0}\subset \mathbb {R} ^{n}$ 可生成一不變流形

${\mathcal {M}}=\cup _{t\in \mathbb {R} }\phi _{t_{0}}^{t}(M_{0}).$

在這一大族不變流形中，如何找出那些對整個系統動態性質影響最大的那些流形，是一個非常基礎性的問題。在非自治動力系統的擴展相空間中的這些最有影響力的不變流形又被稱為拉格朗日擬序結構（Lagrangian Coherent Structures）。

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