二元素布爾代數

二元素布爾代數是最簡單的布爾代數，它只有二個元素，習慣指名為 1 和 0。保羅·哈爾莫斯給這個起名為 2，被一些文獻和本文採用。

任何布爾代數都關聯着叫做「全集」或「載體」的一個偏序集合 B，使得這個布爾代數的運算是從 Bn 到 B 的映射。這個載體是由於有顯著的成員 0 和 1 而是有界的。2 簡單的就是其載體同一於它的界的集合的布爾代數，即 B={0,1}。

布爾代數的二個二元運算有很多名字和符號。這裡把它們叫做「和」與「積」，分別符號表示為中綴 + 和 $\cdot \,$。積經常指示為二個操作數的簡單串聯。和與積是交換的和結合的，如同普通的實數代數中那樣。在運算次序上，$\cdot$ 優先於 + 但是括號可以超越它。所以「A $\cdot \,$ B + C」被分析為「(A $\cdot \,$ B) + C」而非「A $\cdot \,$ (B + C)」。

一元運算總是被稱為「補」，這裡的符號表示是對參數放置上橫槓。x 的補的數值類似者是 1-x。在泛代數的語言中，所有布爾代數是 $\langle B,+,\cdot ,{\overline {..}},1,0\rangle$ 代數，型為 $\langle 2,2,1,0,0\rangle$。

解釋 0 和 1 中的一個為「真」另一個為「假」產生了經典的等式形式的二值邏輯。在這種情況下，+ 被讀做或，$\cdot \,$ 被讀做與，而補被讀做非。

參見

• 邏輯代數
• 卡諾圖
• Quine-McCluskey算法

引用

Many elementary texts on Boolean algebra were published in the early years of the computer era. Perhaps the best of the lot, and one still in print, is:

• Mendelson, Elliot, 1970. Schaum's Outline of Boolean Algebra. McGraw-Hill.

The following items, more challenging than this entry, reveal how even the simplest nontrivial Boolean algebra is a rich mathematical subject.

• Stanford Encyclopedia of Philosophy："The Mathematics of Boolean Algebra,（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）" by J. Donald Monk.
• Burris, Stanley N., and H.P. Sankappanavar, H. P., 1981. A Course in Universal Algebra.（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） Springer-Verlag. ISBN 3-540-90578-2.