函數方程

函數方程是含有未知函數的方程。函數方程可以有一個解，可以無解，也可以有多個解，甚至可以有無窮多個解。

例子

• 函數方程

$\zeta (s)=2^{s}\pi ^{s-1}\sin \left({\frac {\pi s}{2}}\right)\Gamma (1-s)\zeta (1-s)$

的解是黎曼ζ函數。

• 函數方程

$\Gamma (x)={\Gamma (x+1) \over x}\,\!$

的解是伽瑪函數。

• 函數方程

$\Gamma (z)\Gamma (1-z)={\pi \over \sin(\pi z)}\,\!$

的解是伽瑪函數。

• 更多例子：

$f(x+y)=f(x)f(y),\,\!$的解是所有指數函數。

$f(xy)=f(x)+f(y)\,\!$的解是所有對數函數。

$f(x+y)=f(x)+f(y)\,\!$ (柯西函數方程)

$F(az)=aF(z)(1-(z))\,\!$ (龐加萊方程)

$f((x+y)/2)=(f(x)+f(y))/2\,\!$ (琴生)

$g(x+y)+g(x-y)=2g(x)g(y)\,\!$ (達朗貝爾)

$f(h(x))=f(x)+1\,\!$（阿貝爾方程）。

解函數方程

函數方程與代數方程、微分方程不同，並沒有普遍的解法。所以這個分支也沒能發展起來。如上述的解為Gamma函數和初等函數的方程的解法完全不同。

對於二元函數方程，對其變量賦予特殊值的做法較多。

例子：解函數方程$f(x+y)^{2}=f(x)^{2}+f(y)^{2}$。

設$x=y=0$：$f(0)^{2}=f(0)^{2}+f(0)^{2}$。所以$f(0)^{2}=0$，$f(0)=0$。

現在，設$y=-x$：

$f(x-x)^{2}=f(x)^{2}+f(-x)^{2}$

$f(0)^{2}=f(x)^{2}+f(-x)^{2}$

$0=f(x)^{2}+f(-x)^{2}$

由於實數的平方非負，以及兩個非負數的和為零當且僅當兩個數都為零，因此對於所有x，$f(x)^{2}=0$，所以$f(x)=0$是唯一的解。

相關條目

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