十七邊形

正十七邊形
一個正十七邊形
類型	正多邊形
對偶	正十七邊形（本身）
邊	17
頂點	17
對角線	119
施萊夫利符號	{17}
考克斯特符號
對稱群	二面體群 (D17), order 2×17
面積	${\frac {17}{4}}a^{2}\cot {\frac {\pi }{17}}$ $\approx 22.735491898417a^{2}$
內角（度）	${\frac {2700}{17}}^{\circ }=\,$$158{\frac {14}{17}}$ o 158.82352941176°
內角和	2700°
特性	凸、圓內接多邊形、等邊多邊形、等角多邊形、等邊圖形

十七邊形是指幾何學中有17條邊及17隻角的多邊形。其內角和為2700°，有119條對角線。

正十七邊形是有17邊的正多邊形。正十七邊形的每個內角為158.8235294117647058度。

作圖方法

作圖

1796年高斯證明了可以用尺規作圖作出正十七邊形，同時發現了可作圖多邊形的條件。正十七邊形其中一個作圖方法如下：

英文裏，詹·何頓·康威認為heptadecagon是錯誤的拼法，應為heptakaidecagon。

可作圖性亦同時顯示2π/17的三角函數可以只用基本算術和平方根來表示。高斯的書Disquisitiones包含了這條等式：

$\operatorname {cos} {2\pi \over 17}={\frac {-1+{\sqrt {17}}+{\sqrt {34-2{\sqrt {17}}}}+2{\sqrt {17+3{\sqrt {17}}-{\sqrt {34-2{\sqrt {17}}}}-2{\sqrt {34+2{\sqrt {17}}}}}}}{16}}.$

證明

設正十七邊形中心角為$\alpha$,則$17\alpha =360^{\circ }$度,

即$16\alpha =360^{\circ }-\alpha$

故$\sin 16\alpha =-\sin \alpha$，而

${\begin{aligned}\sin 16\alpha &=2\sin 8\alpha \cos 8\alpha \\&=2^{2}\sin 4\alpha \cos 4\alpha \cos 8\alpha \\&=2^{4}\sin \alpha \cos \alpha \cos 2\alpha \cos 4\alpha \cos 8\alpha \\\end{aligned}}$

因為$\sin \alpha \neq 0$，則

$16\cos \alpha \cos 2\alpha \cos 4\alpha \cos 8\alpha =-1$

又由 $2\cos \alpha \cos \beta =\cos(\alpha +\beta )+\cos(\alpha -\beta )$等，有

$2(\cos \alpha +\cos 2\alpha +\cdots +\cos 8\alpha )=-1$

而$\cos 15\alpha =\cos 2\alpha$，$\cos 12\alpha =\cos 5\alpha$，令

$x=\cos \alpha +\cos 2\alpha +\cos 4\alpha +\cos 8\alpha$

$y=\cos 3\alpha +\cos 5\alpha +\cos 6\alpha +\cos 7\alpha$

有：

$x+y=-{\frac {1}{2}}$

又

${\begin{aligned}xy&=(\cos \alpha +\cos 2\alpha +\cos 4\alpha +\cos 8\alpha )(\cos 3\alpha +\cos 5\alpha +\cos 6\alpha +\cos 7\alpha )\\&={\frac {1}{2}}(\cos 2\alpha +\cos 4\alpha +\cos 4\alpha +\cos 6\alpha +\cdots +\cos \alpha +\cos 15\alpha )\\&=-1\\\end{aligned}}$

所以，得

$x={\frac {-1+{\sqrt {17}}}{4}}$

$y={\frac {-1-{\sqrt {17}}}{4}}$

另設:

$x_{1}=\cos \alpha +\cos 4\alpha$，$x_{2}=\cos 2\alpha +\cos 8\alpha$，

$y_{1}=\cos 3\alpha +\cos 5\alpha$，$y_{2}=\cos 6\alpha +\cos 7\alpha$

故有

$x_{1}+x_{2}={\frac {-1+{\sqrt {17}}}{4}}$

$y_{1}+y_{2}={\frac {-1-{\sqrt {17}}}{4}}$

最後，由

$\cos \alpha +\cos 4\alpha =x_{1}$

$\cos \alpha \cos 4\alpha ={\frac {y_{1}}{2}}$

可得

$\cos \alpha ={\frac {-1+{\sqrt {17}}+{\sqrt {34-2{\sqrt {17}}}}+2{\sqrt {17+3{\sqrt {17}}-{\sqrt {34-2{\sqrt {17}}}}-2{\sqrt {34+2{\sqrt {17}}}}}}}{16}}$

其為整數加減乘除平方根的組合，故正十七邊形可用尺規作出。

外部連結

以下的幾個網頁均有介紹如何正十七邊形的尺規作圖：

• http://www.mathland.idv.tw/cai/r17.html（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
• https://web.archive.org/web/20050204005828/http://www.showmath.co.kr/const/polygon/rpoly17.html （韓文）
• https://web.archive.org/web/19991111063410/http://www.geocities.com/RainForest/Vines/2977/gauss/formulae/heptadecagon.html （英文）
• http://mathworld.wolfram.com/Heptadecagon.html（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） （英文）