原根(英語:Primitive root)是一個在數論中的重要概念,特別是整除理論。
對於兩個正整數,由歐拉定理可知,存在正整數, 比如說歐拉函數,即小於等於的正整數中與互質的正整數的個數,使得。
由此,在時,定義對模的指數為使成立的最小的正整數。由前知 一定小於等於 ,若,則稱是模的原根。
考慮 ,則 。
設 ,由於
因此有,所以 2 不是模 7 的一個原根。
設 ,由於
因此有 ,所以 3 是模 7 的一個原根[1]。
- 可以證明,如果正整數和正整數 d 滿足,則 整除 d。[2]因此整除。在例子中,當時,我們僅需要驗證 3 的 2、3 次方模 7 的餘數即可,如果其中有一個是1,則3就不是原根。
- 記,則模 m 兩兩不同餘。因此當是模的原根時,構成模 m 的簡化剩餘系。
- 模有原根的充要條件是,其中是奇質數,是任意正整數。
- 對正整數,如果 a 是模 m 的原根,那麼 a 是整數模m乘法群(即加法群 Z/mZ 的可逆元,也就是所有與 m 互素的正整數構成的等價類構成的乘法群)Zm×的一個生成元。由於Zm×有 個元素,而它的生成元的個數就是它的可逆元個數,即 個,因此當模有原根時,它有個原根。
m
|
模m的原根(有*號的數沒有原根,此時是有最大模m週期的數)
|
週期 ( A002322)
|
1
|
0
|
1
|
2
|
1
|
1
|
3
|
2
|
2
|
4
|
3
|
2
|
5
|
2, 3
|
4
|
6
|
5
|
2
|
7
|
3, 5
|
6
|
8*
|
3, 5, 7
|
2
|
9
|
2, 5
|
6
|
10
|
3, 7
|
4
|
11
|
2, 6, 7, 8
|
10
|
12*
|
5, 7, 11
|
2
|
13
|
2, 6, 7, 11
|
12
|
14
|
3, 5
|
6
|
15*
|
2, 7, 8, 13
|
4
|
16*
|
3, 5, 11, 13
|
4
|
17
|
3, 5, 6, 7, 10, 11, 12, 14
|
16
|
18
|
5, 11
|
6
|
19
|
2, 3, 10, 13, 14, 15
|
18
|
20*
|
3, 7, 13, 17
|
4
|
21*
|
2, 5, 10, 11, 17, 19
|
6
|
22
|
7, 13, 17, 19
|
10
|
23
|
5, 7, 10, 11, 14, 15, 17, 19, 20, 21
|
22
|
24*
|
5, 7, 11, 13, 17, 19, 23
|
2
|
25
|
2, 3, 8, 12, 13, 17, 22, 23
|
20
|
26
|
7, 11, 15, 19
|
12
|
27
|
2, 5, 11, 14, 20, 23
|
18
|
28*
|
3, 5, 11, 17, 19, 23
|
6
|
29
|
2, 3, 8, 10, 11, 14, 15, 18, 19, 21, 26, 27
|
28
|
30*
|
7, 13, 17, 23
|
4
|
31
|
3, 11, 12, 13, 17, 21, 22, 24
|
30
|
32*
|
3, 5, 11, 13, 19, 21, 27, 29
|
8
|
33*
|
2, 5, 7, 8, 13, 14, 17, 19, 20, 26, 28, 29
|
10
|
34
|
3, 5, 7, 11, 23, 27, 29, 31
|
16
|
35*
|
2, 3, 12, 17, 18, 23, 32, 33
|
12
|
36*
|
5, 7, 11, 23, 29, 31
|
6
|
除了直接運算以外,至今還沒有一個辦法可以找到模特定m時的原根,但假如已知模m有一個原根,則可找出它其他的原根。
模 p 的最小原根 g p 定義為在 1 到 p-1 中最小的原根。數學家已經給出最小原根的上界及下界的一些限制。
伯吉斯(1962)證明對任何 ε>0,存在一個 C>0,使得
。
Emil Grosswald (1981) 證明如果 ,則 。