可積系統

數學中，特定動力系統的可積性雖然有幾種不同的正式定義，但非正式地講，可積系統是指具有足量守恆量或首次積分的動力系統，其運動被限制在維度小於相空間的子空間中。 可積系統通常有3個特徵：

• 存在守恆量的最大集合（完全可積性的通常定義）

• 存在代數不變量，在代數幾何中有基（有時稱作代數可積性）
• 以明確的函數形式明確確定解（不是內稟性質，通常稱作可解性）

可積系統在性質上與更一般的動力系統有很大不同，後者是更典型的混沌系統，通常沒有守恆量，且漸進不可解，因為初始條件任意小的擾動都可能導致其軌跡在足夠長的時間內出現任意大的偏差。

物理學中研究的許多系統都可積，特別是哈密頓意義上的，主要的例子是多維諧振子。另一個例子是圍繞固定中心的行星運動。其他基本例子包括剛體繞質心（Euler top）的運動及軸對稱剛體繞其軸上一點的運動（Lagrange top）。

1960年代末，人們認識到物理學中存在具有無限自由度的完全可積系統，例如淺水波的某些模型（KdV方程）、非線性薛定諤方程描述的光纖中的克爾效應、托達格等見於多體系統的特定可積系統。1965年，Martin Kruskal和Norman Zabusky發現了孤波的數值方法，並由此提出了逆散射變換法（1967），從而復興了現代可積系統理論。

在哈密頓系統的特殊情況下，若有足夠多的獨立泊松對易（commute）首次積分，流參數可作為不變級集（拉格朗日葉）上的坐標系，且流完整、能級集是緊集，就意味着劉維爾-阿諾德定理；即作用量-角度變量的存在。一般動力系統沒有這樣的守恆量；在自洽哈密頓系統中，能量通常是唯一的守恆量，而在能量級集上，流通常是混沌的。

弗羅貝尼烏斯定理是描述可積系統特徵的關鍵指標。若系統在局部具有最大積分流形的葉狀結構，則稱其弗羅貝尼烏斯定可積（即由可積分布生成）。但從動力系統的意義上講，可積性不是局部屬性，因為它要求葉規則地嵌入子流形。

可積性並不一定意味着一般解能用已知的一組特殊函數表達，而是系統的幾何、拓撲與動力性質的內稟屬性。

一般動力系統

在可微動力系統,中，可積性指的是存在不變的規則葉狀結構；即葉是流中不變的維度最小的嵌入子流形。因此，根據不變葉的維度，存在可變的可積度概念。其在哈密頓系統中得到細化，稱為劉維爾意義上的完全可積性（下詳），也是本文最常提到的。

可積性的推廣也適用於離散系統，如格。這一定義可用於描述微分方程系或有限差分方程的演化方程。

可積與不可積系統之間的區別具有規則運動與混沌運動的定性含義，因此是一種內稟屬性，而不僅僅是系統能否以精確形式顯式積分的問題。

哈密頓系統與劉維爾可積性

對哈密頓系統，我們有約瑟夫·劉維爾意義上的可積性（參劉維爾-阿諾德定理）。劉維爾可積性指存在由不變流形構成的相空間規則葉，使與葉不變量相關的哈密頓向量場跨越切線分布。另一種說法是，存在一組最大的函數獨立泊松交換不變量（即相空間上的獨立函數，其與系統哈密頓量的泊松括號及相互之間的泊松括號消失）。

在有限維情形下，若相空間為辛的（即泊松代數的中心只含常數），則必具有偶數維度$2n$，且獨立的泊松對易不變量（包括哈密頓量本身）不超過$n$個。對於辛形式而言，葉是完全各向同性的，這樣的最大各向同性葉稱為拉格朗日葉。自洽哈密頓系統（即哈密頓量和泊松括號都不明確依賴於時間的系統）至少有一個不變量，即哈密頓量本身，其沿流的值即能量。若能級集是緊的，則拉格朗日葉就是環面，其上的自然線性坐標稱為「角」變量。正規$1$-形式循環稱為作用變量，由此產生的正規坐標稱作作用量-角度坐標（下詳）。

此外還有劉維爾意義上的完全可積性 / 部分可積性，以及超可積性 / 最大超可積性的區別。這些區別本質上講對應葉的維數，當獨立的泊松對易不變量數小於最大不變量數（自洽系統情形下大於1）時，稱系統部分可積；若除泊松可對易的最大數目之外，還存在其他函數獨立不變式，因而不變葉的維度小於n，稱系統超可積。若存在1維規則葉，則稱為最大超可積。

作用量-角度變量

有限維哈密頓系統若在劉維爾意義上是完全可積的，且能級集是緊集，那麼流就是完整的，不變葉為環面。如上所述，相空間上即存在一組特殊的正則坐標，稱為作用量-角度坐標，這樣不變環面就是作用變量的聯合水平集。因此，這些變量提供了哈密頓流（運動常數）的完整不變集，而角度變量是環面上的自然周期坐標。正則坐標表示的不變環面上的運動在角度變量中是線性的。

哈密頓–雅可比方法

正則變換理論中的哈密頓-雅可比方法，即首先找到相關哈密頓-雅可比方程的完整解以尋求哈密頓方程的解。這在經典術語下可描述為找到到達由完全可忽略變量組成的規範坐標集的變換；即哈密頓量不依賴於完整正規的「位置」坐標，因此相應的正規共軛矩都是守恆量。在能級集為緊集時，這是確定作用量-角度變量的第一步。在哈密頓-雅可比偏微分方程的一般理論中，完整解（即取決於n個獨立積分常數的解，其中n是構型空間的維數）在非常普遍的意義下僅存在於局部，因此完整解的存在絕非劉維爾完全可積性的反映。大多數能「顯式積分」的情形涉及變量的完全分離，其中分離常數提供了所需的整套積分常數。只有當這些常數能在全相空間重新詮釋為限制在拉格朗日葉上的泊松對易函數完全集之值時，系統才能視為劉維爾完全可積系統。

孤波與逆譜方法

1960年代末，人們發現孤波是KdV方程（描述淺盆中的1維非耗散流體動力）等偏微分方程的強穩定局部解，將方程視為無窮維可積哈密頓系統就可以理解孤波，於是重新激發了人們對經典可積系統的興趣。他們的研究為「積分」這類系統提供了有效方法，即逆散射變換和更一般的逆譜方法（通常可還原為黎曼–希爾伯特問題），其通過求解相關積分方程，將傅里葉分析等局部線性方法推廣到非局部線性化。

這種方法的基本思想是引入線性算子（由相空間中的位置決定），並在相關系統的動力過程中不斷演化，其「譜」（適當推廣）在演化過程中不變，參見Lax 對。部分情況下，這提供了足夠的不變量或「運動積分」，使系統完全可積。但對KdV方程之類具有無限自由度的系統，還不足以明確劉維爾可積性的定義。不過，若有適當定義的邊界條件，譜變換實際上可解釋為到達完全可忽略坐標的變換，其中守恆量形成了正規坐標的雙重無限集的一半，流在其中線性化。有時這甚至可看做是到作用量-角度變量的變換，不過通常只有有限個「位置」變量實際上是角坐標，其餘的都不是緊的。

廣田雙線性方程與τ函數

現代可積系統的另一種觀點源於廣田良吾開創的一種計算方法，其中用一個輔助量（後稱為τ函數）的常係數方程組雙線性系統取代了原非線性動力系統。這方程後來稱作「廣田方程」，最初只是一種計算工具，與逆散射變換或哈密頓結構沒有明確關係，但它提供了一種非常直接的推導孤波等重要解的方法。

隨後，佐藤干夫及學生將其解釋為PDE的KP方程層次之類的可積層次，但後來被解釋為一種通用相空間方法，適用於更廣泛的可積層次。其中，典型對易動力可視作由格拉斯曼流形上的固定阿貝爾群作用決定。 τ函數被視為從群軌道到格拉斯曼流形內某個原點的[[]投影 (線性代數)|投影算子]]的行列式，而廣田方程則表達了格拉斯曼流形普呂克嵌入在投影化的適當定義的（無限）外空間中，被視為費米子福克空間。

量子可積系統

在量子環境中，相空間中的函數要替換為希爾伯特空間上的自伴算子，泊松對易函數的概念要換成對易算子，守恆律則須專化為局部守恆律。每個哈密頓算符都有一組無限的守恆量，由其能量特徵狀態的投影給出。然而，這並不意味着任何特殊動力結構。

要解釋量子可積性，不妨考慮自由粒子情景。其中所有動力都是單體可溯的。若量子系統的動力是雙體可溯的，則稱其為可積系統。楊-巴克斯特方程是這種可溯性的結果，產生了提供無限守恆量集合的痕量等式。所有想法都被納入了量子逆散射法，應用代數貝特擬設可用於獲得顯式解。量子可積模型的例子如Lieb–Liniger模型、赫巴德模型和海森堡模型的幾種變體。在顯式時變量子問題中，還有些量子可積性是已知的，如驅動Tavis-Cummings模型。

完全可解模型

物理學中，（特別是無限維的）完全可積系統通常稱作完全可解模型。這掩蓋了哈密頓可積性與更一般的動力系統可積性之間的區別。

統計力學中也有類似的「精確可解模型」，與經典模型相比，它們與量子可積系統的關係更密切。兩種密切相關的方法：基於楊-巴克斯特方程的現代貝特擬設方法，以及量子逆散射法，提供了逆譜法的量子類似物。這些方法對於研究統計力學中的可解模型同樣重要。

「精確可解」是不精確的概念，是說「解可用已知的函數明確表達」，似乎這是系統的什麼內稟屬性，而不是碰巧我們知道一些「已知函數」，可以用它們來表達解這一純粹的計算特徵。這個概念並沒有內在本質含義，因為「已知」函數只是來自某些給定的方程，且在不斷增加。「可積性」的這種表徵沒有內在的合理性，但往往意味着可積系統所期待的那種規律性。

另見

• 希欽系統

相關領域

• 數學物理
• 孤波
• 潘勒韋解
• 統計力學
• 可積算法

參考文獻

• Arnold, V.I. Mathematical Methods of Classical Mechanics 2nd. Springer. 1997. ISBN 978-0-387-96890-2.  含有內容需登入查看的頁面 (link)
• Audin, M. Spinning Tops: A Course on Integrable Systems. Cambridge Studies in Advanced Mathematics 51. Cambridge University Press. 1996. ISBN 978-0521779197. 
• Babelon, O.; Bernard, D.; Talon, M. Introduction to classical integrable systems. Cambridge University Press. 2003. ISBN 0-521-82267-X. doi:10.1017/CBO9780511535024. 
• Baxter, R.J. Exactly solved models in statistical mechanics. Academic Press. 1982. ISBN 978-0-12-083180-7. 
• Dunajski, M. Solitons, Instantons and Twistors. Oxford University Press. 2009. ISBN 978-0-19-857063-9. 
• Faddeev, L.D.; Takhtajan, L.A. Hamiltonian Methods in the Theory of Solitons. Addison-Wesley. 1987. ISBN 978-0-387-15579-1. 
• Fomenko, A.T. Symplectic Geometry. Methods and Applications 2nd. Gordon and Breach. 1995. ISBN 978-2-88124-901-3. 
• Fomenko, A.T.; Bolsinov, A.V. Integrable Hamiltonian Systems: Geometry, Topology, Classification. Taylor and Francis. 2003. ISBN 978-0-415-29805-6. 
• Goldstein, H. Classical Mechanics 2nd. Addison-Wesley. 1980. ISBN 0-201-02918-9. 
• Harnad, J.; Winternitz, P.; Sabidussi, G. (編). Integrable Systems: From Classical to Quantum. American Mathematical Society. 2000. ISBN 0-8218-2093-1. 
• Harnad, J.; Balogh, F. Tau functions and Their Applications. Cambridge Monographs on Mathematical Physics. Cambridge University Press. 2021. ISBN 9781108492683. S2CID 222379146. doi:10.1017/9781108610902. 
• Hietarinta, J.; Joshi, N.; Nijhoff, F. Discrete systems and integrability. Cambridge University Press. 2016. ISBN 978-1-107-04272-8. doi:10.1017/CBO9781107337411. 
• Korepin, V. E.; Bogoliubov, N.M.; Izergin, A.G. Quantum Inverse Scattering Method and Correlation Functions. Cambridge University Press. 1997. ISBN 978-0-521-58646-7. 
• Afrajmovich, V.S.; Arnold, V.I.; Il'yashenko, Yu. S.; Shil'nikov, L.P. Dynamical Systems V. Springer. ISBN 3-540-18173-3. 
• Mussardo, Giuseppe. Statistical Field Theory. An Introduction to Exactly Solved Models of Statistical Physics. Oxford University Press. 2010. ISBN 978-0-19-954758-6. 
• Sardanashvily, G. Handbook of Integrable Hamiltonian Systems. URSS. 2015. ISBN 978-5-396-00687-4. 

閱讀更多

• Beilinson, A.; Drinfeld, V. Quantization of Hitchin's integrable system and Hecke eigensheaves (PDF). 
• Donagi, R.; Markman, E. Spectral covers, algebraically completely integrable, Hamiltonian systems, and moduli of bundles.. Integrable systems and quantum groups. Lecture Notes in Mathematics. Vol. 1620 (Springer). 1996: 1–119. ISBN 978-3-540-60542-3. doi:10.1007/BFb0094792. 
• Sonnad, Kiran G.; Cary, John R. Finding a nonlinear lattice with improved integrability using Lie transform perturbation theory. Physical Review E. 2004, 69 (5): 056501. Bibcode:2004PhRvE..69e6501S. PMID 15244955. doi:10.1103/PhysRevE.69.056501. 

外部連結

• Hazewinkel, Michiel (編), Integrable system, 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4 
• "SIDE - Symmetries and Integrability of Difference Equations" （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）, a conference devoted to the study of integrable difference equations and related topics.