密克定理

密克定理（英語：Miquel's theorem）是幾何學中關於相交圓的定理。1838年，密克敘述並證明了數條相關定理。許多有用的定理可由其推出。

定理陳述

三圓定理：設三個圓$C_{1}$, $C_{2}$, $C_{3}$交於一點$O$，而$M$, $N$, $P$分別是$C_{1}$ 和$C_{2}$, $C_{2}$和$C_{3}$, $C_{3}$和$C_{1}$的另一交點。設$A$為$C_{1}$的點，直線$MA$交$C_{2}$於$B$，直線$PA$交$C_{3}$於$C$。那麼$B$, $N$, $C$這三點共線。

逆定理：如果$\triangle ABC$是三角形，$M$, $N$, $P$三點分別在邊$AB$, $BC$, $CA$上，那麼三角形$\triangle AMP$, $\triangle BMN$, $\triangle CNP$的外接圓交於一點$O$。

完全四線形定理：如果$ABCDEF$是完全四線形，那麼三角形$\triangle EAD$, $\triangle EBC$, $\triangle FAB$, $\triangle FDC$的外接圓交於一點 $O$，稱為密克點。

四圓定理：設$C_{1}$, $C_{2}$,$C_{3}$, $C_{4}$為四個圓，$A_{1}$和$B_{1}$是$C_{1}$和$C_{2}$的交點，$A_{2}$和$B_{2}$是$C_{2}$ 和$C_{3}$的交點，$A_{3}$和$B_{3}$是$C_{3}$和$C_{4}$的交點，$A_{4}$和$B_{4}$是$C_{1}$和$C_{4}$的交點。那麼$A_{1}$, $A_{2}$, $A_{3}$, $A_{4}$四點共圓當且僅當$B_{1}$, $B_{2}$, $B_{3}$, $B_{4}$四點共圓。

五圓定理：設$ABCDE$為任意五邊形，五點$F$, $G$, $H$, $I$, $J$分別是$EA$和$BC$ , $AB$和$CD$, $BC$和$DE$, $CD$和$EA$, $DE$和$AB$的交點，那麼三角形$\triangle ABF$, $\triangle BCG$, $\triangle CDH$, $\triangle DEI$, $\triangle EAJ$的外接圓的五個不在五邊形上的交點共圓。需要注意這樣構造出的圓並不穿過五個外接圓的圓心。

幾何中的五圓定理是指，五個順次相交的圓，其圓心和一個交點位於第六個圓上，將另一個交點兩兩連接並延長和圓相接，可以構成五角星。

逆定理：設$C_{1},$, $C_{2}$, $C_{3}$, $C_{4}$, $C_{5}$五個圓的圓心都在圓$C$上，相鄰的圓交於$C$上，那麼把它們不在$C$上的交點與比鄰同樣的點連起來，所成的五條直線相交於這五個圓上。

歷史

1838年密克在劉維爾的期刊《純粹與應用數學雜誌》發表了該定理的一部份。

密克的第一條定理，是很久前已有的著名經典結果，以圓周角定理證明。

完全四線形四圓的交點現在稱為密克點，但這性質施泰納在1828年已經知道，華萊士也很可能已經知道。

五圓定理是一條更一般的定理的特殊情形。這條定理由克利福德提出及證明。

2000年12月20日，中國國家主席江澤民出席澳門回歸祖國一周年慶典活動期間，在參觀濠江中學時向該校師生出了一道求証「五點共圓」的問題，令問題重新引起廣泛興趣，五點共圓問題的證明後來也成為膜蛤文化的一部分。

孔涅在2002年10月的一個研討會也重提這問題。

外部連結

• 埃里克·韋斯坦因. Miquel's theorem. MathWorld. 
• Miquels' Theorem as a special case of a generalization of Napoleon's Theorem at Dynamic Geometry Sketches