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常層

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數學中,拓撲空間X上與集合A相關聯的常層(constant sheaf)是X上的集合層,其全部等於A,記作。值為A常預層(constant presheaf)是為X的每個開子集賦A值的預層,其所有限制映射都是恆等映射。關聯於A的常層是關聯於A的常預層的層化。這個層等同於X上局部常的A-值函數的層。[1]

有時,集合A可換成某範疇中的對象A(如阿貝爾群範疇交換環範疇)。

阿貝爾群的常層會作為係數出現於層上同調

基本情形

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X為拓撲空間,A為集合。常層在開集U上的截面可解釋為連續函數,其中A具有離散拓撲。若U連通,則這些局部常函數就是常的。若是到單點空間的唯一映射A被視作上的層,則逆像X上的常層層空間是射影映射A(其中被賦予離散拓撲)。

詳細例子

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2點離散空間上的常預層
2點離散拓撲空間

X是兩點pq組成的拓撲空間,具有離散拓撲X有4個開集:。圖中顯示了X的開集的5個非平凡包含。 X上的預層為X的每個開集選擇一個集合,並為9個包含(5個非平凡,4個平凡)的每個選擇一個限制映射。值為常預層(將表為F)選擇4個集合均為(整數集)、選擇9個限制映射均為恆等映射。F函子,因此也是預層,因為它是常的;其滿足膠合公理,但不是層,因為在空集上局部恆等公理失效——空集被空集族覆蓋:空集上F的任意兩截面限制到空集族的任何集合都相等。因此,局部恆等公理意味着F在空集上的任意兩截面都相等,但實際上並非如此。

類似地,在空集上滿足局部恆等公理的預層G的構造如下。設,其中0是單元集。在非空集合上,為G賦值。對開集的每個包含,若較小的集合是空的,則G返回到0的唯一映射;否則,返回上的恆等映射。

常層的中間步驟

注意:由於空集的局部恆等公理,所有涉及空集的限制映射都是無趣的。這適用於任何滿足空集局部恆等公理的預層,尤其適用於任何層。 G是分離預層(即滿足局部恆等公理),但不滿足膠合公理,這與F不同。被兩開集覆蓋,交為空。上的截面是的元素,即是一個數。選擇上的截面m上的截面n,假定;由於mn上限制於同一個元素0,膠合公理要求在上存在唯一截面s,其在上限制到m,在上限制到n。但由於的限制映射是恆等映設,所以,於是有,自相矛盾。

2點拓撲空間上的常層

太小了,無法同時攜帶的信息。設,就可以將其放大以滿足膠合公理。令為兩射影映射;定義。對剩下的開集和包含,令HX上的常層,值為。由於是環,且所有限制映射都是環同態,所以H是交換環層。

另見

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參考文獻

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  1. ^ Does the extension by zero sheaf of the constant sheaf have some nice description?. Mathematics Stack Exchange. [2022-07-08]. (原始內容存檔於2022-09-24) (英語).