最短路問題

一個有6個節點和7條邊的圖

最短路徑問題是圖論研究中的一個經典算法問題，旨在尋找圖（由結點和路徑組成的）中兩結點之間的最短路徑。算法具體的形式包括：

• 確定起點的最短路徑問題 - 也叫單源最短路問題，即已知起始結點，求最短路徑的問題。在邊權非負時適合使用Dijkstra算法，若邊權為負時則適合使用Bellman-ford算法或者SPFA算法。
• 確定終點的最短路徑問題 - 與確定起點的問題相反，該問題是已知終結結點，求最短路徑的問題。在無向圖中該問題與確定起點的問題完全等同，在有向圖中該問題等同於把所有路徑方向反轉的確定起點的問題。
• 確定起點終點的最短路徑問題 - 即已知起點和終點，求兩結點之間的最短路徑。
• 全局最短路徑問題 - 也叫多源最短路問題，求圖中所有的最短路徑。適合使用Floyd-Warshall算法。

用於解決最短路徑問題的算法被稱做「最短路徑算法」，有時被簡稱作「路徑算法」。最常用的路徑算法有：

• Dijkstra算法
• A*算法
• Bellman-Ford算法
• SPFA算法（Bellman-Ford算法的改進版本）
• Floyd-Warshall算法
• Johnson最短路算法
• 雙向搜索

單源最短路徑算法

無向圖

權值要求	時間複雜度	作者
ℝ+	$O(V^{2})$	Dijkstra 1959
ℝ+	$O((E+V)\log V)$	Johnson 1977 (二叉堆)
ℝ+	$O(E+V\log V)$	Fredman & Tarjan 1984 (斐波那契堆)
ℕ	$O(E)$	Thorup 1999 (要求常數時間複雜度的乘法)。

無權圖

算法	時間複雜度	作者
廣度優先搜索	$O(E+V)$	Konrad Zuse 1945,Moore 1959

有向無環圖

使用拓撲排序算法可以在有權值的DAG中以線性時間（$\theta (E+V)$）求解單源最短路徑問題。

無負權的有向圖

假設邊緣權重均為整數。

算法	時間複雜度	作者
	O(V 2EL)	Ford 1956
Bellman–Ford 算法	O(VE)	Shimbel 1955, Bellman 1958, Moore 1959
	O(V 2 log V)	Dantzig 1960
Dijkstra's 算法（列表）	O(V 2)	Leyzorek et al. 1957, Dijkstra 1959, Minty (see Pollack & Wiebenson 1960), Whiting & Hillier 1960
Dijkstra's 算法（二叉堆）	O((E + V) log V)	Johnson 1977
……	……	……
Dijkstra's 算法（斐波那契堆）	O(E + V log V)	Fredman & Tarjan 1984, Fredman & Tarjan 1987
	O(E log log L)	Johnson 1981, Karlsson & Poblete 1983
Gabow's 算法	O(E logE/V L)	Gabow 1983, Gabow 1985
	$O(E+V{\sqrt {\log l}})$	Ahuja et al. 1990
Thorup	O(E + V log log V)	Thorup 2004

參見

• 圖論
• 離散數學
• 算法導論
• 尋路
• IEEE 802.1aq
• 網絡流
• 最短路徑樹