柄體

幾何拓撲中，柄體（handlebody）是將流形分解為標準小塊的一種方法。柄體在高維流形的莫爾斯理論、配邊理論和割補理論中發揮着重要作用。柄體尤其適用於研究3維流形。

柄體之於流形研究，好比單純復形和CW復形之於同倫論，允許人們從單個小塊及其相互作用的角度分析空間。

n維柄體

n維有界流形 $(W,\partial W)$ ，

S^{r-1}\times D^{n-r}\subset \partial W

（其中 $S^{n}$ 是n維球面， $D^{n}$ 是n維球體）是嵌入，則稱邊界為

(W',\partial W')=((W\cup (D^{r}\times D^{n-r})),(\partial W-S^{r-1}\times D^{n-r})\cup (D^{r}\times S^{n-r-1}))

的n維流形來自

(W,\partial W)

附加（attach）以r柄。邊界 $\partial W'$ 從 $\partial W$ 由割補而來。作為平凡例子，附加0柄就是取球的不交並；給 $(W,\partial W)$ 附加n柄是沿 $\partial W$ 的任意球面組分膠合進一個球。勒內·托姆和約翰·米爾諾用莫爾斯理論證明流形（無論有無邊）都是柄體，即流形可表為柄的交。這個分解不是唯一的：柄體分解的操作是證明斯梅爾 h配邊定理及其推廣到s配邊定理的基本要素。

若流形是r柄的交（ $r\leq k$ ），則稱流形是k柄體，不同於流形的維度。例如，4維2柄體是0柄、1柄與2柄的並。流形都是n柄體，即流形都是柄的交。不難看出，當且僅當流形具有非空的邊界時，流形是(n-1)柄體。

流形的柄分解確定了流形的CW復形分解，因為附加一個r柄同倫等價於附加一個r胞腔。不過，柄分解提供的信息不僅是流形的同倫類：柄分解在同胚意義上完全描述了流形。怪球面都是0柄與n並的交。4維中，只要附加映射光滑，甚至還能描述光滑結構；但在更高維度則不能。

3維柄體

柄體可定義為有向有界3維流形，包含逐對不交、規範嵌入（properly embed）的2圓盤，使沿圓盤切下的流形形成3球。想象一下這個過程反過來，是如何得到柄體的（有時最後一個定義中的「有向」被去掉了，於是就得到了具有無向柄的更一般的柄體）。

柄體的虧格是其邊界曲面的虧格。在同胚的意義上，非負整數虧格的柄體只有一個。

柄體在3維流形理論中的重要性來自於與希加德分裂的聯繫。幾何群論中柄體的重要性來自於柄體的基本群自由這一事實。

較老的文獻中，3維柄體有時被稱作「有柄立方體」（cube with handles）。

例子

令G維嵌入在n維歐氏空間的連通有限圖。令V為歐氏空間中G的閉規範鄰域，則V是n維柄體。圖G稱作V的「脊」（spine）。

0虧格柄體同胚於3球 $B^{3}$ 。1虧格柄體同胚於 $B^{2}\times S^{1}$ （其中 $S^{1}$ 是圓），稱作實環面（solid torus）。其他柄體都可通過取實環面集合的邊界連通和得來。

另見

柄分解

參考文獻

Matsumoto, Yukio, An introduction to Morse theory, Translations of Mathematical Monographs 208, Providence, R.I.: American Mathematical Society, 2002, ISBN 978-0-8218-1022-4, MR 1873233