理想 (環論)

理想（Ideal）是一個環論中的概念。 若某環的子集為在原環加法的定義下的子群，且其中的元素在原環乘法下與任意原環中的元素結果都在該子群中，則稱其為原環的理想。 通俗地說，一環的理想在加法上成群且在乘法上表現如同一個黑洞。 理想把整數的某些子集，例如偶數或3的倍數組成的集合給一般化了。兩個偶數相加或相減結果仍是偶數，偶數與任意整數相乘的結果也仍是偶數；這些閉包和吸收的性質正是理想的定義。理想可以被用來構造商環，這類似於在群論里，正規子群可以被用來構造商群。

歷史

恩斯特·庫默爾提出了理想數的概念，以此作為那些不具有唯一因子分解的數環的「缺失」的因子。「理想」在這裡的意思是它只存在於想象中，可以類比在幾何中那些「理想」的幾何對象，比如無窮遠處的點。隨後在1876年，理查德·戴德金在狄利克雷的數論講義書的第三版中用被稱為「理想」的數的集合代替了庫默爾之前未定義的概念。之後這個概念被大衛·希爾伯特和艾米·諾特從數環拓展到了多項式環以及其他交換環上。

定義

環(R,+,·)，已知(R, +)是阿貝爾群。R的子集I稱為R的一個右理想，若I滿足：

1. (I, +)構成(R, +)的子群。
2. ∀i ∈ I，r ∈ R，i·r ∈ I。

類似地，I稱為R的左理想，若以下條件成立：

1. (I, +)構成(R, +)的子群。
2. ∀i ∈ I，r ∈ R，r·i ∈ I。

若I既是R的右理想，也是R的左理想，則稱I為R的雙邊理想，簡稱R上的理想。

示例

• 整數環的理想：整數環Z只有形如nZ的理想。

一些結論

• 在環中，（左或右）理想的交和並仍然是（左或右）理想。

• 對於R的兩個理想A，B，記$AB=\left\{\sum _{k=0}^{n}a_{k}b_{k}|a_{k}\in A,b_{k}\in B\right\}$。按定義不難證明：

1. 如果A是R的左理想，則AB是R的左理想。
2. 如果B是R的右理想，則AB是R的右理想。
3. 如果A是R的左理想，B是R的右理想，則AB是R的雙邊理想。

• R的子集I是R的理想，若I滿足：

1. ∀a,b ∈ I，a - b∈I。
2. ∀a ∈ I, r ∈ R，則a·r∈ I。

• 交換環的理想：交換環的理想都是雙邊理想。

• 除環的理想：除環中的（左或右）理想只有平凡（左或右）理想。

生成理想

如果 $A$ 是環 $R$ 的一個非空子集，令 $\left\langle A\right\rangle =RA+AR+RAR+\mathbb {Z} A$, 其中

$\mathbb {Z} A=\left\{\sum _{i=1}^{n}m_{i}a_{i}:m_{i}\in \mathbb {Z} ,\,a_{i}\in A,\,n\geq 1\right\};$

$RA=\left\{\sum _{i=1}^{n}r_{i}a_{i}:r_{i}\in R,\,a_{i}\in A,\,n\geq 1\right\};$

$AR=\left\{\sum _{i=1}^{n}a_{i}r_{i}:r_{i}\in R,\,a_{i}\in A,\,n\geq 1\right\};$

$RAR=\left\{\sum _{i=1}^{n}r_{i}a_{i}r_{i}':r_{i},r_{i}'\in R,\,a_{i}\in A,\,n\geq 1\right\},$

則 $\left\langle A\right\rangle$ 是環 $R$ 的理想，這個理想稱為 $R$ 中由 $A$ 生成的理想，$A$ 稱為生成元集。同群的生成子群類似，$\left\langle A\right\rangle$ 是 $R$ 中所有包含 $A$ 的理想的交，因此是 $R$ 中包含 $A$ 的最小理想。下面是生成理想的幾種特殊情況：

1. 當 $R$ 是交換環時，$\left\langle A\right\rangle =RA+\mathbb {Z} A$;
2. 當 $R$ 是有單位元$1$的環時，$\left\langle A\right\rangle =RAR$;
3. 當 $R$ 是有單位元的交換環時，$\left\langle A\right\rangle =RA$.

主理想

設集合A = {a₁,a₂,...,a_n}，則記<A> = <a₁,a₂,...,a_n>，稱$\left\langle A\right\rangle$是有限生成理想。特別當$A=\left\{a\right\}$是單元素集時，稱$\left\langle A\right\rangle =\left\langle a\right\rangle$為環R的主理想。注意$\left\{a\right\}$作為生成元一般不是唯一的，如$\left\langle a\right\rangle =\left\langle -a\right\rangle$。$\left\langle a\right\rangle$的一般形式是：

$\left\langle a\right\rangle =\left\{\sum _{k=1}^{m}x_{k}ay_{k}+sa+at+na|x_{k},y_{k},s,t\in R,n,m\in Z\right\}$

• 性質：$\left\langle A\right\rangle =\sum _{a\in A}\left\langle a\right\rangle$

幾類特殊環中的主理想：

1. 如果是交換環，則$\left\langle a\right\rangle =\left\{sa+na|s\in R,n\in Z\right\}$
2. 如果是有單位元的環，則$\left\langle a\right\rangle =\left\{\sum _{k=1}^{m}x_{k}ay_{k}|x_{k},y_{k}\in R,m\in Z,m>0\right\}$
3. 如果是有單位元的交換環，則$\left\langle a\right\rangle =\left\{sa|s\in R\right\}$

相關概念和結論

• 真理想：若I是環R的理想，且I是R的真子集，I稱為R的真理想。
• 極大理想：環R的一個真理想I被稱為R的極大理想，若不存在其他真理想J，使得I是J的真子集。
  • 極大左理想：設I是環R的左理想，若I ≠ R並且在I與R之間不存在真的左理想，則稱I是環R的一個極大左理想。極大左理想與極大理想之間有如下關係：
    1. 如果I是極大左理想，又是雙邊理想，則I是極大理想。
    2. 極大理想未必是極大左理想。
  • 單環：在幺環中，若零理想是其極大理想，稱該環為單環。
    • 除環是單環，其零理想是極大理想。
    • 域是單環。
  • 在整數環Z中，由p生成的主理想是極大理想的充分必要條件是：p是素數。
  • 設R是有單位元1的交換環。理想I是R的極大理想的充分且必要條件是：商環R / I是域。
  • 設I是環R的左理想，則I是R的極大左理想的充分必要條件是對R的任意一個不含在I中的左理想J都有I+J=R。

• 素理想：環R的真理想I被稱為素理想，若∀R上的理想A，B，有AB ⊆ I ⇒ A ⊆ I或B ⊆ I。
• 素環：若環R的零理想是素理想，則稱R是素環（或質環）。
  • 無零因子環是素環。
  • 在交換環R中，真理想I是素理想的充要條件是：R / I是素環。
• 准素理想：環R的真理想I。若∀R上的理想P，有P² ⊆ I ⇒ P ⊆ I，稱I是R的准素理想。
  • 准素理想是一類比素理想相對較弱的理想。素理想是准素理想，反之不成立。

參考文獻

• Atiyah, M. F. and Macdonald, I. G., Introduction to Commutative Algebra, Perseus Books, 1969, ISBN 0-201-00361-9
• Lang, Serge. Undergraduate Algebra Third. Springer-Verlag. 2005. ISBN 978-0-387-22025-3. 
• Michiel Hazewinkel, Nadiya Gubareni, Nadezhda Mikhaĭlovna Gubareni, Vladimir V. Kirichenko. Algebras, rings and modules. Volume 1. 2004. Springer, 2004. ISBN 1-4020-2690-0
• Milnor, John Willard, Introduction to algebraic K-theory, Annals of Mathematics Studies 72, Princeton, NJ: Princeton University Press, 1971, MR 0349811, Zbl 0237.18005 

參見

• 理想 (序理論)