相交理論

相交理論（Intersection theory）是代數幾何的主要分支之一，給出了給定代數簇的兩個子簇的交點信息。^[1]簇理論更老，源於曲線上的貝祖定理和消去理論；拓撲理論更快地達到了確定形式。

相交理論仍在不斷發展。目前的主要重點是：虛基本循環、量子相交環、格羅莫夫-威滕量及將相交理論從概形推廣到疊。^[2]

拓撲相交形式

對維度為 $2 n$ 的連通有向流形 $M$ ，相交形式是通過對 $H 2 n (M, \partial M)$ 中的基類 $[M]$ 的上積求值，從而定義在第 $n$ 上同調群（通常稱作「中維」）。確切地說，有雙線性形式

\lambda _{M}\colon H^{n}(M,\partial M)\times H^{n}(M,\partial M)\to \mathbf {Z}

由下式給出

\lambda _{M}(a,b)=\langle a\smile b,[M]\rangle \in \mathbf {Z}

其中

\lambda _{M}(a,b)=(-1)^{n}\lambda _{M}(b,a)\in \mathbf {Z} .

$n$ 為偶數時這是對稱雙線性形式（因此 $2 n = 4 k$ ），這時 $M$ 的符號數被定義為形式的符號數； $n$ 為奇數時，則定義為交替形式。這些形式可統稱為ε對稱形，當中 $ε = (-1) n = \pm1$ 分別表示對稱形和斜對稱形。某些情況下，可以將形式細化為 $ε$ 二次型，但需要額外數據，如切叢的框架。也可以去除有向性條件，改用 $Z /2 Z$ 係數。

這些形式是重要的拓撲不變量。例如，邁克爾·弗里德曼的一個定理指出，在同胚意義上，單連通緊4維流形（幾乎）由其相交形式決定。

由龐加萊對偶性，我們可以從幾何角度思考這個問題。試為 $a$ 、 $b$ 的龐加萊對偶擇有代表性的 $n$ 維子流形 $A$ 、 $B$ ，則 $λ M (a, b)$ 是 $A$ 、 $B$ 的有向交數（oriented intersection number），是良定義的，因為 $A$ 、 $B$ 維數之和等於 $M$ 的維數，所以它們通常交於孤立的點。這就是「相交形式」這一術語的由來。

代數幾何中的相交理論

威廉·富爾頓在《相交理論》（1984）中寫道：

... 若 $A$ 、 $B$ 是非奇異簇 $X$ 的子簇，那麼交積 $A \cdot B$ 應是代數循環的等價類，代數循環與 $A \cap B$ 、以及 $A$ 、 $B$ 在 $X$ 中的幾何位置密切相關。有兩種情況最著名。若相交是真相交（proper），即 $dim(A \cap B) = dim A + dim B - dim X$ ，則 $A \cdot B$ 是 $A \cap B$ 的不可約成分的線性組合，係數是相交乘數。在另一個極端，若 $A = B$ 是非奇異子簇，則自交公式表示 $A \cdot B$ 由 $X$ 中 $A$ 的法叢的頂陳類表示。

安德烈·韋伊《代數幾何基礎》（1946）中主要關注的是在一般情況下給出相交乘法的定義。1920年代，巴特爾·倫德特·范德瓦爾登的工作已經涉及這一問題；在意大利代數幾何學派中，這觀點已廣為人知，但基礎問題並未以同樣的精神得到解決。

移動循環

要使循環 $V$ 、 $W$ 的相交機制運行良好，就不能只取循環的交集 $V \cap W$ 。若兩個循環處於「良位置」，則「交積」 $V \cdot W$ 就應包含兩個子簇的交集。循環若處於「不良位置」，例如平面上的兩條平行線，或包含直線的平面（在3維空間相交），相交都應該只有一個點，因為若要移動一個循環，這就是交點。兩循環 $V$ 、 $W$ 的交集 $V \cap W$ 的余維若等於 $V$ 、 $W$ 余維之和，就稱相交為「真相交」（proper intersection）。因此，我們使用循環上適當等價關係的「移動循環」概念。等價必須足夠廣，以至任給兩個循環 $V$ 、 $W$ 都有等價循環 $V'$ 、 $W'$ 使相交 $V' \cap W'$ 為真相交。當然，另一方面，對第二等價的 $V''$ 、 $W''$ ， $V' \cap W'$ 需要等價於 $V'' \cap W''$ 。

就相交理論而言，「有理等價」是最重要的一種。簡言之，若在簇 $X$ 的 $(r + 1)$ 維子簇 $Y$ 上有有理函數 $f$ ，則 $X$ 上的兩 $r$ 維循環有理等價；其中 $Y$ 是函數域 $k (Y)$ 的元素或等價於函數 $f : Y \to P 1$ ，使得 $V - W = f -1 (0) - f -1 (\infty)$ （其中 $f -1 (\cdot)$ 用乘法計算）。有理等價滿足上述要求。

交乘

定義循環的交乘的指導原則是一定意義上的連續型。請看下面這個簡單例子：拋物線 $y = x 2$ 和軸 $y = 0$ 的交點應為 $2 \cdot (0, 0)$ ，因為若其中一個循環移動、接近所述位置時，兩個交點恰好匯聚於 $(0, 0)$ （圖中只描繪了方程的實解，會引起誤解）。

第一個令人滿意的交乘定義由讓-皮埃爾·塞爾給出：令周圍簇（ambient variety） $X$ 光滑（或所有局部環都正則），接着令 $V$ 、 $W$ 都為（不可還原的閉）子簇，使其相交為真相交。這個構造是局部的，因此簇可用 $X$ 的坐標環中的兩個理想 $I$ 、 $J$ 表示。設 $Z$ 是交集 $V \cap W$ 中的一個不可約成分， $z$ 為其一般點。則 $Z$ 在交積 $V \cdot W$ 中的乘法定義為

\mu (Z;V,W):=\sum _{i=0}^{\infty }(-1)^{i}{\text{length}}_{{\mathcal {O}}_{X,z}}{\text{Tor}}_{i}^{{\mathcal {O}}_{X,z}}({\mathcal {O}}_{X,z}/I,{\mathcal {O}}_{X,z}/J),

函子環的撓群（torsion group） $z$ 中的 $X$ 的局部環長度上的交替和，對應子簇。這個表達式也稱作「塞爾Tor公式」。注釋：

第一個和
$\left({\mathcal {O}}_{X,z}/I\right)\otimes _{{\mathcal {O}}_{X,z}}\left({\mathcal {O}}_{X,z}/J\right)={\mathcal {O}}_{Z,z}$

的長度是對乘法的「天真」猜測；但正如塞爾指出的，這還不充分。
和是有限的，因為正則局部環 ${\mathcal {O}}_{X,z}$ 具有有限的Tor維度。
若 $V$ 、 $W$ 的相交不是真相交，則上述交乘的結果將為0。若是真相交，則其嚴格為正。（這兩點從定義看並不明顯）
用譜序列可以證明 $μ (Z; V, W) = μ (Z; W, V)$ 。

周環

周環是循環模有理等價所得的群，以及下面的交換交積：

V\cdot W:=\sum _{i}\mu (Z_{i};V,W)Z_{i}

其中V、 W 橫截着相交，而 $V\cap W=\cup _{i}Z_{i}$ 是交集的不可約分解。

自交

給定兩子簇 $V$ 、 $W$ ，可取其相交 $V \cap W$ ，但也可以定義單個子簇的自交，方法要微妙些。

例如，給定面 $S$ 上的曲線 $C$ ，其與自身的相交就是自身： $C \cap C = C$ 。這雖然對，但不夠好：任給曲面上兩條不同的曲線（沒有共同分量），它們相交於某個點集。可以數出點集包含的點數，得到「交數」。我們希望能對給定曲線左同樣的處理：不同曲線的相交就像兩個數相乘： $xy$ ，自交就像乘方： $x 2$ 。形式上，這種類比就像是對稱雙線性形式（乘法）與二次型（乘方）。

其幾何解法是，將曲線 $C$ 與略微偏移的自身相交。在平面上這意味着將曲線 $C$ 向某方向平移，但一般情況下我們談論的是取與 $C$ 線性等價的曲線 $C'$ ，計算交 $C \cdot C'$ 的交點數，記作 $C \cdot C$ 。這不同於無關曲線 $C$ 、 $D$ 的情形，前者的實際交點取決於 $C'$ 的選擇，但 $C''$ 的「自交點」可解釋為 $C$ 上的 $k$ 個一般點，且 $k = C \cdot C$ 。更恰當地說， $C$ 的自交點是 $C$ 的一般點，乘法為 $C \cdot C$ 。

或者，也可通過對偶話來代數地「解」這個問題，並查看 $[C] \cup [C]$ 的類——這既給出了一個數，又提出了幾何解釋問題。傳遞到上同調類，類似於用線性系統代替曲線。

自交數可以為負，如下所示。

例子

考慮射影空間 $P 2$ 中的直線 $L$ ：其自交數為1，因為所有直線與之相交1次。可以將 $L$ 推到 $L'$ ，對任意的 $L'$ 的選擇都有 $L \cdot L' = 1$ ，於是 $L \cdot L = 1$ 。就相交形式而言，我們說平面有 $x 2$ 類型的相交形式（只有一類直線，且都互相相交）。

注意在仿射平面上，可以將 $L$ 推移到平行線上，於是交點數取決於推離的選擇。有人說「仿射平面沒有很好的相交理論」，而非射影簇上的相交理論要困難得多。

$P 1 \times P 1$ （也可解釋為 $P 3$ 中非奇異二次曲面 $Q$ ）上的直線自交為0，因為直線可以從自身移開（是直紋曲面）。就相交形式而言，可以說 $P 1 \times P 1$ 有一個 $xy$ 類型——有2類基本直線，相交於1點（ $xy$ ），但自交為零（沒有 $x 2$ 或 $y 2$ 項）。

拉開

自交數的一個重要例子是拉開的特殊曲線，是雙有理幾何中的一個核心運算。給定代數曲面 $S$ ，在一點拉開，會產生一條曲線 $C$ ，其屬（genus）為0，自交數為-1（並不明顯）。推論： $P 2$ 、 $P 1 \times P 1$ 是最小曲面（不是拉開），因為它們沒有任何具有負自交的曲線。事實上，卡斯泰爾諾沃收縮定理給出了相反的情況：每條 $(-1)$ 曲線都是某個拉開的特殊曲線。

另見

引用

^ Eisenbud & Harris 2016，第14頁.
^ Eisenbud & Harris 2016，第2頁.

參考文獻

Gathman, Andreas, Algebraic Geometry, [2018-05-11], （原始內容存檔於2016-05-21）
Tian, Yichao, Course Notes in Intersection Theory (PDF) ^{[失效連結]}

書目

Eisenbud, David; Harris, Joe. 3264 and All That: A Second Course in Algebraic Geometry. Cambridge University Press. 2016. ISBN 978-1-107-01708-5.
Fulton, William, Intersection theory, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge. A Series of Modern Surveys in Mathematics [Results in Mathematics and Related Areas. 3rd Series. A Series of Modern Surveys in Mathematics] 2, Berlin, New York: Springer-Verlag, 1998, ISBN 978-3-540-62046-4, ISBN 978-0-387-98549-7 MR 1644323
Fulton, William; Serge, Lang, Riemann-Roch Algebra, ISBN 978-1-4419-3073-6
Serre, Jean-Pierre, Algèbre locale. Multiplicités, Cours au Collège de France, 1957--1958, rédigé par Pierre Gabriel. Seconde édition, 1965. Lecture Notes in Mathematics 11, Berlin, New York: Springer-Verlag, 1965, MR 0201468

[FOOTNOTEEisenbudHarris201614-1] Eisenbud & Harris 2016，第14頁.

[FOOTNOTEEisenbudHarris20162-2] Eisenbud & Harris 2016，第2頁.

[1]

[2]