鏈 (代數拓撲)

在代數拓撲學中，一個q維鏈（q-chain)是一個復形K全體定向q單純形所生成的自由阿貝爾群C_q(K)中的元素。

定義

對於一個單純形K，K的q維鏈群C_q(K)是由一個復形K的全體定向q單純形所生成的自由阿貝爾群，即$C_{q}(K)=\{\sum _{i=1}^{s}\lambda _{i}\sigma _{i}:\lambda _{i}\in \mathbb {Z} \}$，其中$\sigma _{i}$是K的定向q單純形，其中，若$\sigma$和$\tau$是兩個同樣的單形，但如果定向相反，那麼$\sigma +\tau =0$. 一個復形K上的q維鏈是$C_{q}(K)$中的元素。習慣上，常把鏈看作定向單形的線性組合，即$c=\sum _{i=1}^{\alpha _{q}}\lambda _{i}\sigma _{i}$，並稱$\lambda _{i}$為c的係數。

鏈上的積分

在鏈上定義的積分是對鏈上的單純形取積分的線性組合（帶有整數係數）。包含所有k鏈的集合構成一個群，這些群的序列稱為鏈復形。