阿基米德中點定理

阿基米德中點定理（英語：Archimedes' Midpoint Theorem），又稱為阿基米德折弦定理，是一個關於圓的定理。若一個圓上有兩點 $A,B$ ， $M$ 為弧 ${\overset {\frown }{AB}}$ 的中點，隨意選圓上的一點 $D$ 為 ${\overline {AC}}$ 上的點使得 ${\overline {MD}}$ 垂直 ${\overline {AC}}$ 。若 $M$ 、 $C$ 在弦 ${\overset {\frown }{AB}}$ 異側，則 ${\overline {AD}}$ = ${\overline {CD}}$ - ${\overline {BC}}$ ；若 $M$ 、 $C$ 在弦 ${\overset {\frown }{AB}}$ 同側，則 ${\overline {AD}}$ = ${\overline {CD}}$ + ${\overline {BC}}$ 。

證明

若為同側：在線段 ${\overline {AD}}$ 上取點 $X$ ，使得 ${\overline {DX}}={\overline {DC}}$ ，由於 ${\overline {MD}}\perp {\overline {AC}}$ ，有

${\overline {MX}}={\overline {MC}}$ 。又因為 $M$ 為弧 ${\overset {\frown }{AB}}$ 中點， ${\overset {\frown }{AM}}={\overset {\frown }{BM}}$ 。

同時由圓周角定理知：

\angle MAC=\angle MBC

，

\angle ABM=\angle ACM

，

所以

\angle XMC=2\angle DMC=180^{\circ }-2\angle ACM=180^{\circ }-2\angle ABM=\angle AMB

，

所以

\angle AMX=\angle AMC-\angle XMC=\angle AMC-\angle AMB=\angle BMC

，

所以

\triangle AMX\cong \triangle BMC

，

所以

{\overline {AX}}={\overline {BC}}

，

{\overline {AD}}={\overline {AX}}+{\overline {XD}}={\overline {DC}}+{\overline {CB}}

，命題得證。

若為異側：在線段 ${\overline {AD}}$ 延長線上取點 $X$ ,使 ${\overline {DX}}={\overline {AD}}$ .因為 $M$ 為弧 ${\overset {\frown }{AB}}$ 中點，所以 $\angle ACM=\angle BCM$ 。又因為四邊形 $AMBC$ 為圓內接四邊形，所以，延長 ${\overline {CB}}$ 至 $P$ ，則 $\angle MBP=\angle MAC$ 。但是 ${\overline {AD}}={\overline {DX}}$ ， $\angle ADM$ 為直角，所以 $\triangle ADM\cong \triangle XDM$ ； $\angle MAC=\angle AXM$ ； $\angle MBP=\angle AXM$ ； $\angle CXM=\angle CBM$ 。