馬爾可夫方程

不定方程$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}=3x_{1}x_{2}x_{3}$稱為馬爾可夫方程（英語：Markov equation或Markoff equation）。

求解方法如下：

• 先憑觀察找出$(x_{1},x_{2},x_{3})=(1,1,1)$這組解。
• 方程可視為一個$x_{3}$為未知數的一元二次方程。根據韋達定理，可知$(x_{1},x_{2},3x_{1}x_{2}-x_{3})$　（留意$3x_{1}x_{2}-x_{3}={\frac {x_{1}^{2}+x_{2}^{2}}{x_{3}}}$）也是一個解。

這個方程有無限個解。

事實上，用這個方法由(1,1,1)開始，可以找出這方程的所有正整數數組解。

在此不定方程的解出現的正整數稱為馬爾可夫數（英語：Markov number），它們由小到大是：

1, 2, 5, 13, 29, 34, 89, 169, 194, 233, 433, 610, 985, 1325, ... （OEIS:A002559）

它們組成的解是：

(1, 1, 1), (1, 1, 2), (1, 2, 5), (1, 5, 13), (2, 5, 29), (1, 13, 34), (1, 34, 89), (2, 29, 169), (5, 13, 194), (1, 89, 233), (5, 29, 433), (89, 233, 610) ...

馬爾可夫數的特性

馬爾可夫方程的解

馬爾可夫數可以排成一棵二元樹（如圖）。

在二元樹上，和 1 的範圍相鄰的數（即二元樹的上方，2, 5, 13, 34, 89, ...），都是相隔的斐波那契數。

和 2 的範圍鄰接的數（即二元樹的下方，1, 5, 29, 169, ...）也有相似的特質：它們都是相隔的佩爾數。

猜想

每個數只在樹上出現一次（即沒有正整數$z$使得$(a,b,z),(c,d,z)$都是方程的解，其中$a,b,c,d$是兩兩相異的正整數，且$a>b>z,c>d>z$）。

赫爾維茨方程

馬爾可夫-赫維茲方程（英語：Markov-Hurwitz equation），是指形式如$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+...+x_{n}^{2}=ax_{1}x_{2}...x_{n}$的不定方程，其中$a,n$是正整數。

阿道夫·赫維茲證明了：方程有$(0,...,0)$之外的解的必要條件之一是$a\leq n$。