Stone布爾代數表示定理
在數學中，斯通氏布爾代數表示定理聲稱所有布爾代數都同構於集合域。這個定理是深入理解在二十世紀上半葉所拓展的布爾代數的基礎。這個定理首先由斯通氏（1936年）證明，並以他的姓氏命名。斯通氏通過他對希爾伯特空間上的算子的譜理論的研究而得出了它。
定理
[編輯]斯通氏表示定理斷言布爾代數同構於如下形式的它的那些超濾子的集合的所有子集的代數，{U : b ∈ U} 對布爾代數的某個元素 b。
可能令人驚奇，它的證明要求選擇公理。這個定理等價於聲稱所有布爾代數都有素理想的布爾素理想定理，它的證明也要求選擇公理。然而斯通氏表示定理要嚴格弱於選擇公理。
對非布爾代數的其他特定代數結構也存在類似的定理。例如，所有群都同構於變換群，這裡的函數複合解釋群乘積。
與拓撲學和範疇論的關係
[編輯]這個定理可以用拓撲學和範疇論的語言來重述如下。斯通氏表示定理斷言在布爾代數範疇和斯通氏空間，也就是完全不連通緊緻豪斯多夫拓撲空間（也叫做布爾空間）範疇之間的對偶。
這個定理是斯通氏對偶性的特殊情況，它是在拓撲空間和偏序集合之間的對偶性的一般性框架。在布爾代數的範疇內，態射是布爾同態。在斯通氏空間的範疇內，態射是連續函數。斯通氏對偶性把利用真值表特徵化有限布爾代數推廣到了命題的無限集合。它系統性的利用了兩元素布爾代數2作為同態的目標，它的載體是{0,1}或真值{F,T}。
布爾代數 A 的斯通氏空間是在 A 上的所有二值同態的集合，帶有這種同態的網逐點收斂的拓撲。（構造 A 的斯通氏空間的可替代和等價的方式是作為 A 中所有超濾子的集合，帶有對每個 A 中的 a 的集合 {U : U是包含a的超濾子} 都是這個拓撲的基。我們使用了下面的同態方式。）
從布爾代數 A 到布爾代數 B 同態以自然方式對應於從斯通氏空間 B 到斯通氏空間 A 的連續函數。換句話說，這種對偶性是逆變函子。
所有布爾代數都同構與它的斯通氏空間的閉開（就是說同時是閉集和開集）子集的代數。這個同構把任何 A 的元素 a 映射到把 a 映射到 1 的那些同態的集合。
所有完全不連通緊緻豪斯多夫空間都同胚於所有它的閉開子集的布爾代數的斯通氏空間。這個同胚把每個點 x 映射到 2-值同態 φ，它依據 x ∈ S 或 x ∉ S 給出 φ(S)= 1或0。
引用
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[編輯]- Paul Halmos，and Givant, Steven (1998) Logic as Algebra. Dolciani Mathematical Expositions No. 21. The Mathematical Association of America。
- Johnstone, Peter T. (1982) Stone Spaces. Cambridge University Press. ISBN 0-521-23893-5.
- Marshall H. Stone (1936) "The Theory of Representations of Boolean Algebras," Transactions of the American Mathematical Society 40: 37-111.
A monograph available free online:
- Burris, Stanley N., and H.P. Sankappanavar, H. P.(1981) A Course in Universal Algebra.（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） Springer-Verlag. ISBN 3-540-90578-2.