凹凸性 (幾何)
在幾何學中，一個幾何圖形可分為凸或凹的。例如多邊形和多面體。其中，凸的多邊形稱為凸多邊形、凹的多邊形則可稱為凹多邊形或非凸多邊形，多面體與多胞體亦然。然而在三維或更高維度的空間中，不是凸的幾何圖形不一定會是凹幾何圖形，亦可能是星形幾何圖形，因此在三維或更高維度的空間中較常分為凸與非凸。
凸幾何圖形
[編輯]凸幾何圖形是指內部為凸集的幾何圖形[1]，二維空間中的凸幾何圖形稱為凸多邊形、三維空間則稱凸多面體。若一多胞形的內部為凸集，則稱凸多胞形。
二維空間中的凸幾何圖形稱為凸多邊形，簡單多邊形的下列性質與其凸性等價：
凸幾何圖形的凸包與其邊界相同。
凹幾何圖形
[編輯]凹幾何圖形是指內部不是凸集的幾何圖形，在二維空間中，不是凸集的簡單多邊形，稱為凹多邊形（Concave polygon）[2]或凹角[3]。
凹多邊形至少存在一個內角大於180度。
在三維空間中，不是凸的幾何圖形不一定會是凹幾何圖形，亦可能是星形多面體，因此在三維空間中較常分為凸與非凸。
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凹多邊形示例 -
凹多面體示例：凹鳶形柱 -
環形多面體
嚴格凸與非嚴格凸
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如果一個簡單多邊形的每個內角嚴格小於180度，是嚴格凸的；如果每個非相鄰頂點間的線段除端點外嚴格位於多邊形的內部，也是嚴格凸的。
所有非退化三角形都是嚴格凸的。
星形幾何圖形
[編輯]星形幾何圖形是非凸幾何圖形的一個特例，其並未有一個明確的定義。在二維空間中，稱為星形多邊形，數學家Branko Grünbaum指出了兩種由克普勒提出的定義：一種是具有自相交稜的正星形多邊形，且自相交的稜不產生新的頂點，另一種是邊可遞的簡單凹多邊形[4]。
參見
[編輯]參考文獻
[編輯]- ^ Definition and properties of convex polygons with interactive animation.. [2009-10-18]. （原始內容存檔於2017-10-17）.
- ^ McConnell, Jeffrey J., Computer Graphics: Theory Into Practice: 130, 2006, ISBN 0763722502.
- ^ Mason, J. I., On the angles of a polygon, The Mathematical Gazette, 1935, 30 (291): 237–238 [2009-10-18], （原始內容存檔於2016-03-25）.
- ^ Grünbaum & Shephard 1987，section 2.5
