動量映射

在數學，尤其在辛幾何中，動量映射是一個與辛流形上的李群的哈密頓作用有關的工具，可用於構造作用的守恆量。動量映射推廣了經典的 動量和角動量。它在各種辛流形的建立中是一個重要的部分，包括將會在後面討論的symplectic (Marsden–Weinstein) quotients，以及symplectic cuts和sums。

正式定義

令 M 是一個配有辛形式 ω 的流形。假定一個李群 G 通過辛同胚作用在 M 上（也就是每個 G 中的 g 保持 ω ）。令 ${\mathfrak {g}}$ 是 G 上的李代數，${\mathfrak {g}}^{*}$ 是它的對偶，且令

$\langle ,\rangle :{\mathfrak {g}}^{*}\times {\mathfrak {g}}\to \mathbf {R}$

是兩者間的pairing。任一${\mathfrak {g}}$中的ξ誘導了 M 上的一個向量場 ρ(ξ) 以描述ξ的無限小作用。更精確地說，向量場 $\rho (\xi )_{x}$ 在M上一點x是

$\left.{\frac {d}{dt}}\right|_{t=0}\exp(t\xi )\cdot x,$

其中 $\exp :{\mathfrak {g}}\to G$ 是指數映射並且 $\cdot$ 表示 M 上的 G-作用。令 $\iota _{\rho (\xi )}\omega \,$ 表示 向量場與 ω 的縮並。由於 G 通過辛同胚作用，它意味着對於 ${\mathfrak {g}}$ 中所有的ξ，$\iota _{\rho (\xi )}\omega \,$ 是閉形式。

一個在(M，ω)上的 G-作用的動量映射是一個映射 $\mu :M\to {\mathfrak {g}}^{*}$，對於 ${\mathfrak {g}}$ 中所有的ξ滿足

$d(\langle \mu ,\xi \rangle )=\iota _{\rho (\xi )}\omega$

。這裏 $\langle \mu ,\xi \rangle$ 是通過 $\langle \mu ,\xi \rangle (x)=\langle \mu (x),\xi \rangle$ 定義的從 M 到 R 的函數。動量映射在差一個積分的常數的程度上是唯一定義的。

一個動量映射經常也要求是 G-等價的，這裏 G 通過余伴隨作用作用在 ${\mathfrak {g}}^{*}$ 上。如果群是緊的或半單的，那麼總是選擇積分常數使動量映射是余伴隨等價的; 但是通常余伴隨作用必須被修正以使映射等價(this is the case for example for the Euclidean group). The modification is by a 1-cocycle on the group with values in ${\mathfrak {g}}^{*}$，as first described by Souriau (1970).

哈密頓群作用

動量映射的定義要求 $\iota _{\rho (\xi )}\omega$是閉形式。在實際中一個更強的假定是有用的。G-作用被稱作是哈密頓的若且唯若當以下的條件滿足。首先，對於 ${\mathfrak {g}}$ 中的每一個ξ，1-形式 $\iota _{\rho (\xi )}\omega$ 是恰當的，這意味着它對於一些光滑函數

$H_{\xi }:M\to \mathbf {R} .$

等於 $dH_{\xi }$ 。 如果這成立，那麼我們可以選擇 $H_{\xi }$ 使映射 $\xi \mapsto H_{\xi }$ 為線性。第二個使G-作用是哈密頓的要求是映射 $\xi \mapsto H_{\xi }$ 是一個從 ${\mathfrak {g}}$ 到 M 在泊松括號下的光滑函數的代數的李代數同態。

如果 G 在(M，ω)上的作用在這個意義上是哈密頓的，那麼一個動量映射是映射 $\mu :M\to {\mathfrak {g}}^{*}$ ，這樣 $H_{\xi }=\langle \mu ,\xi \rangle$ 定義了一個李代數同態 $\xi \mapsto H_{\xi }$ 滿足 $\rho (\xi )=X_{H_{\xi }}$. 這裏 $X_{H_{\xi }}$ 是一個由哈密頓函數 $H_{\xi }$ 通過

$\iota _{X_{H_{\xi }}}\omega =dH_{\xi }.$

定義的向量場。

例子

In the case of a Hamiltonian action of the circle G = U(1)，the Lie algebra dual ${\mathfrak {g}}^{*}$ is naturally identified with R，and the 動量映射 is simply the Hamiltonian function that generates the circle action.

Another classical case occurs when M is the cotangent bundle of R³ and G is the Euclidean group generated by rotations and translations. That is，G is a six-dimensional group，the semidirect product of SO(3) and R³. The six components of the 動量映射 are then the three angular momenta and the three linear momenta.

Symplectic quotients

Suppose that the action of a compact Lie group G on the symplectic manifold (M，ω) is Hamiltonian，as defined above，with 動量映射 $\mu :M\to {\mathfrak {g}}^{*}$. From the Hamiltonian condition it follows that $\mu ^{-1}(0)$ is invariant under G.

Assume now that 0 is a regular value of μ and that G acts freely and properly on $\mu ^{-1}(0)$. Thus $\mu ^{-1}(0)$ and its quotient $\mu ^{-1}(0)/G$ are both manifolds. The quotient inherits a symplectic form from M; that is，there is a unique symplectic form on the quotient whose pullback to $\mu ^{-1}(0)$ equals the restriction of ω to $\mu ^{-1}(0)$. Thus the quotient is a symplectic manifold，called the Marsden–Weinstein quotient，symplectic quotient or symplectic reduction of M by G and is denoted $M/\!\!/G$. Its dimension equals the dimension of M minus twice the dimension of G.

參見

• Poisson-Lie group
• Toric manifold
• Geometric Mechanics
• Kirwan map

參考資料

• J.-M. Souriau, Structure des systèmes dynamiques, Ma?trises de mathématiques, Dunod, Paris, 1970. ISSN 0750-2435.
• S. K. Donaldson and P. B. Kronheimer, The Geometry of Four-Manifolds, Oxford Science Publications, 1990. ISBN 0-19-850269-9.
• Dusa McDuff and Dietmar Salamon, Introduction to Symplectic Topology, Oxford Science Publications, 1998. ISBN 0-19-850451-9.
• Choquet-Bruhat, Yvonne; DeWitt-Morette, Cécile, Analysis, Manifolds and Physics, Amsterdam: Elsevier, 1977, ISBN 978-0-7204-0494-4 
• Ortega, Juan-Pablo; Ratiu, Tudor S. Momentum maps and Hamiltonian reduction. Progress in Mathematics 222. Birkhauser Boston. 2004. ISBN 0-8176-4307-9.