反向歐拉法

數值分析與科學計算中，反向歐拉法或隱式歐拉法是求解常微分方程最基本的數值方法之一。其類似於（標準）歐拉法，不過是一種隱式方法。反向歐拉法的時間誤差為一階。

描述

考慮常微分方程

${\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} t}}=f(t,y)$

有初值$y(t_{0})=y_{0}.$此處函數$f$與初值數據$t_{0}$、$y_{0}$均未知；函數$y$取決於實變量$t$，同樣未知。數值方法產生一個序列$y_{0},y_{1},y_{2},\ldots$，使$y_{k}$近似於$y(t_{0}+kh)$，其中$h$稱為步長。

反向歐拉法計算近似值的方法是

$y_{k+1}=y_{k}+hf(t_{k+1},y_{k+1}).$

異於（正向）歐拉法，後者用的是$f(t_{k},y_{k})$而非$f(t_{k+1},y_{k+1})$。

反向歐拉法是一種隱式方法：新近似值$y_{k+1}$在方程兩側都出現，因此該方法要求解未知$y_{k+1}$的代數方程。對非剛性問題，這可採用定點迭代法：

$y_{k+1}^{[0]}=y_{k},\quad y_{k+1}^{[i+1]}=y_{k}+hf(t_{k+1},y_{k+1}^{[i]}).$

若序列收斂（在給定精度內），則該方法會將其極限作為新的近似 $y_{k+1}$。

或者，也可以使用牛頓–拉斐森法求解代數方程。

推導

將微分方程${\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} t}}=f(t,y)$自$t_{n}$積分到$t_{n+1}=t_{n}+h$，有

$y(t_{n+1})-y(t_{n})=\int _{t_{n}}^{t_{n+1}}f(t,y(t))\,\mathrm {d} t.$

現在用右手矩形法近似計算右式的積分：

$y(t_{n+1})-y(t_{n})\approx hf(t_{n+1},y(t_{n+1})).$

最後，用$y_{n}$應近似於$y(t_{n})$的性質，就得到了反向歐拉法公式。

若用左手矩形法，同樣的推導會得到（標準）歐拉法。

分析

圓盤外的粉色區域是反向歐拉法的穩域。

用大O符號表示反向歐拉法的局部截斷誤差（LTE）（定義為迭代一步產生的誤差）為$O(h^{2})$。特定時刻$t$的誤差為$O(h^{2})$，這是說該方法的階數為1。一般來說，具有$O(h^{k+1})$LTE的方法定義為k階。

反向歐拉法的絕對穩域是以1為圓心，半徑為1的圓盤在平面內的補集，如圖所示。這包括整個複平面的左半部，使其適於求解剛性方程。事實上，反向歐拉法甚至是L-穩定的。

利用反向歐拉法求解離散穩定系統的區域是半徑為0.5的圓，位於z平面的(0.5, 0)處。

推廣與改進

反向歐拉法是（前向）歐拉法的一種變體。其他變體還有半隱式歐拉法和指數歐拉法。

反向歐拉法可視為1階段的龍格-庫塔法，可用Butcher表描述：

${\begin{array}{c|c}1&1\\\hline &1\\\end{array}}$

該方法也可看作是1步的線性多步法，是Adams–Moulton法族中的第一個方法，也是後向微分法的第一個方法。

另見

• 克蘭克-尼科爾森方法

參考文獻

• Butcher, John C., Numerical Methods for Ordinary Differential Equations, New York: John Wiley & Sons, 2003, ISBN 978-0-471-96758-3 .