基數指派

在集合論中，勢的概念可以有相當的發展，而無需藉助於定義基數為理論自身內的物件（這實際上是弗雷格採用的觀點；弗雷格基數基本上是指在等勢關係下，由在全集中的集合所組成的各個等價類）。勢的概念可以依據函數的單射、對射與滿射概念來闡述；比如透過單射，可以給出在整個全集上通過大小比較的預序關係

$A\leq _{c}B\iff (\exists f)(f:A\to B\,$是單射$)\,$。

它不是真的排序，因為三一律不一定成立：如果 $A\leq _{c}B$ 和 $B\leq _{c}A$ 都為真，則通過 康托爾-伯恩斯坦-施羅德定理 $A=_{c}B\$ 為真，就是說 A 和 B 是等勢的，但作為集合它們可以不是相等的；「$A\leq _{c}B,B\leq _{c}B,A=_{c}B$三者至少一種情況成立」這一陳述等價於選擇公理。

不過多數關於勢和它的算術的有趣結果可以只通過 =_c 來表達。

基數指派的目標是把每個集合 A 指派到特定的唯一的一個集合，所指派的集合只取決於 A 的勢。這跟康托爾最初對基數的設想是一致的：取一個集合併把它的元素抽象為規範「單位」，再把這些單位收集到另一個集合中，使得有關這個集合唯一特殊的事情是它的大小。這類集合在 $\leq _{c}$ 下會是全序的，而=_c 會變成真正的等號。不過，如 Y. N. Moschovakis 所說，這只是作為體現數學簡潔性的一個練習，你不會得到更多東西除非你「對下標過敏」。但是在集合論的各種模型中，有「真實」基數的各種有價值的應用。

在現代集合論中，我們通常使用馮·諾伊曼基數指派，它使用序數的理論與選擇公理和替代公理的全部能力。基數指派需要完全的選擇公理，如果我們想要像樣的基數算術和對所有集合的基數指派。

不用選擇公理的基數指派

形式上，假定選擇公理，一個集合 X 的勢，是使得在 X 和 α 之間有對射的最小序數 α。這個定義叫做馮·諾伊曼基數指派。如果不假定選擇公理，我們需要採取別的方式。一個集合 X 的勢的最古舊的定義（康托爾隱含地使用着，而在弗雷格和《數學原理》那裏被明確提出），是等勢於 X 的所有集合的集合：這在 ZFC 或其他有關的公理化集合論中不可行，因為這個搜集對於一個集合而言太大了，但這個定義在類型論、新基礎和有關系統中可行。但是，如果我們限制這個類為，同 X 等勢的那些物件中有最小階的集合的搜集，則它就可行（這是 Dana Scott 發明的一個技巧：它可行是因為任何給定階的物件的搜集都是一個集合）。

引用

• Moschovakis, Yiannis N. Notes on Set Theory. New York: Springer-Verlag, 1994.