拉東-尼科迪姆定理

拉東-尼科迪姆定理是數學中測度論里的一個結果。拉東-尼科迪姆定理說明了在給定了一個測度空間$(X,\Sigma )$的時候，如果測度空間$(X,\Sigma )$上的一個σ-有限測度$\nu$關於另一個σ-有限測度$\mu$絕對連續，那麼存在一個在$X$上可測的函數$f$，其取值範圍為非負實數（$[0,\infty )$），並且對所有的可測集合$A$，都有：

$\nu (A)=\int _{A}f\,d\mu$

這個定理得名於數學家約翰·拉東以及歐頓·尼科迪姆。拉東在1913年證明了這個定理在背景空間為$R^{N}$時的情況；尼科迪姆則在1930年證明了定理的一般情形。1936年，漢斯·弗洛伊登薩將這個定理推廣，證明了里斯空間理論中的弗洛依登薩譜定理。拉東·尼科迪姆定理是後者的一個特例。

拉東-尼科迪姆導數是

$f={\frac {d\nu }{d\mu }}$

屬性

• $\lambda$幾乎處處：$${\frac {d(\nu +\mu )}{d\lambda }}={\frac {d\nu }{d\lambda }}+{\frac {d\mu }{d\lambda }}.$$
• 若 ν ≪ μ ≪ λ, 則 $\lambda$幾乎處處：$${\frac {d\nu }{d\lambda }}={\frac {d\nu }{d\mu }}{\frac {d\mu }{d\lambda }}.$$
• 若 μ ≪ ν 以及 ν ≪ μ, 則 $\nu$幾乎處處：$${\frac {d\mu }{d\nu }}=\left({\frac {d\nu }{d\mu }}\right)^{-1}.$$
• 若 μ ≪ λ 則 $$\int _{X}g\,d\mu =\int _{X}g{\frac {d\mu }{d\lambda }}\,d\lambda .$$
• $${d|\nu | \over d\mu }=\left|{d\nu \over d\mu }\right|.$$