旋轉群SO(3)

在經典力學與幾何學裏，所有環繞着三維歐幾里得空間 $\mathbb {R} ^{3}$ 的原點的旋轉及旋轉的複合組成的群稱為三維旋轉群^[1]，有時會用SO(3) 來表示。

關於原點的旋轉是一個保持向量長度，保持空間取向（遵守右手定則或左手定則）的線性變換。兩個旋轉的複合是一個新的旋轉。每一個旋轉都有一個獨特的逆旋轉。 $\mathbb {R} ^{3}$ 上的恆等函數滿足旋轉的定義，可以作為群的單位元。旋轉的複合運算滿足結合律。由於符合上述四個要求，所有旋轉的集合是一個群。

每一個非平凡的旋轉可以由過原點的旋轉軸及旋轉角度給出。旋轉的複合不滿足交換律，因此三維旋轉群是非阿貝爾群。

更多地，旋轉群擁有一個天然的流形結構。對於這流形結構，旋轉群的運算是光滑的；所以，它是一個李群。

旋轉變換是從 $\mathbb {R} ^{3}$ 到 $\mathbb {R} ^{3}$ 的線性變換，因此選定 $\mathbb {R} ^{3}$ 的基後，每一個旋轉都可以由一個3乘3的矩陣表示。特別地，如果選定的是 $\mathbb {R} ^{3}$ 上的一個標準正交基，那麼每一個旋轉都可以由一個行列式為1的3乘3的正交矩陣表示。所以SO(3)群可以由一個由行列式為1的正交矩陣及矩陣乘法組成的群表示。這些矩陣被稱為特殊（行列式為1）(英語：special)正交(英語：orthgonal) 矩陣，這解釋了為甚麼我們用符號SO(3)來表示三維旋轉群。

長度與角度

除了保持長度（保長），旋轉也保持向量間的角度（保角）。原因是兩向量u和v的內積可寫作：

\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} ={\tfrac {1}{2}}\left(\|\mathbf {u} +\mathbf {v} \|^{2}-\|\mathbf {u} \|^{2}-\|\mathbf {v} \|^{2}\right).

R³中的保長轉換保持了純量內積值不變，也因此保持了向量間的角度。包括SO(3)在內的一般性情形，參見古典群。

正交矩陣與旋轉矩陣

每一個旋轉會將一個 $\mathbb {R} ^{3}$ 的標準正交基映射到另一個標準正交基。作為有限維向量空間上的線性變換，旋轉變換可以由一個矩陣表示。令 $R$ 為給定的一個旋轉。關於 $\mathbb {R} ^{3}$ 的標準基 $e_{1},e_{2},e_{3}$ ， $R$ 的列為 $(Re_{1},Re_{2},Re_{3})$ 。由於標準基是標準正交的， $R$ 亦保持向量間的角度和向量長度， $R$ 的列將構成另一個標準正交基。標準正交的條件可以表示為

$R^{T}R=RR^{T}=I$

其中 $R^{T}$ 為 $R$ 的轉置， $I$ 為3乘3的單位矩陣。滿足此條件的矩陣稱為正交矩陣。所有3乘3的正交矩陣構成的群記作O(3)，包含了所有取向的旋轉。

除了保持長度不變，合適的旋轉保持空間取向不變。一個行列式為正值的矩陣將保持空間取向不變，反之，一個行列式為負值的矩陣將反轉空間取向。對於正交矩陣 $R$ ， $\det R^{T}=\det R$ 暗示了 $(\det R)^{2}=1$ ，因此 $\det R=\pm 1$ 。行列式為1的正交矩陣組成的子群稱為特殊正交子群，記作SO(3)。

因此所有旋轉可以由一個具有單位行列式的正交矩陣唯一表示。更多地，因為旋轉的複合與矩陣乘法相對應，所以三維旋轉群與特殊正交群SO(3)同構。

瑕旋轉對應行列式為-1的正交矩陣，它們不構成一個群，因為兩個瑕旋轉的複合是一個正規旋轉（因為其行列式為1）。

群結構

旋轉軸

三維空間中非平凡的旋轉，皆繞着一個固定的「旋轉軸」，此旋轉軸是R³的特定一維線性子空間（參見：歐拉旋轉定理）。旋轉作用在與旋轉軸正交的二維平面，如同尋常的二維旋轉。既然二維旋轉皆可以旋轉角φ表示，則任意三維旋轉則可用旋轉軸搭配旋轉角來表示。

舉例來說，繞着正z軸旋轉φ角的逆時針旋轉為

R_{z}(\varphi )={\begin{bmatrix}\cos \varphi &-\sin \varphi &0\\\sin \varphi &\cos \varphi &0\\0&0&1\end{bmatrix}}.

給定R³中一單位向量n以及角度φ，設R(φ, n)代表繞n軸作角度φ的逆時針旋轉，則：

R(0, n)為相等轉換（identity transformation），n任意單位向量；
R(φ, n) = R(−φ, −n)；
R(π + φ, n) = R(π − φ, −n)。

利用這些特性，參數為旋轉角φ（範圍： 0 ≤ φ ≤ π）與單位向量n的任意旋轉有如下性質：

若φ = 0，n可為任意單位向量；
若0 < φ < π，n為特定單位向量；
若φ = π，n為彼此反向的兩特定單位向量；亦即，旋轉R(π, ±n)是等價的。

有限子群

SO(3)中只有很少的幾個有限子群，且它們全部是熟悉的對稱群，包括有：

C_k：繞一條直線轉過角度2π/k的倍數的旋轉的循環群
D_k：正k邊形的二面體群
T：將正四面體映為自身的十二個旋轉四面體群
O：立方體或正八面體旋轉的24階八面體群
I：正十二面體或正二十面體的60個旋轉的二十面體群

詮釋

^ Jacobson (2009), p. 34, Ex. 14.

參考文獻

Jacobson, Nathan, Basic algebra 1 2nd, Dover Publications, 2009, ISBN 978-0-486-47189-1

[1] Jacobson (2009), p. 34, Ex. 14.

[1]

長度與角度

正交矩陣與旋轉矩陣

群結構

旋轉軸

有限子群

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詮釋

參考文獻