極限 (範疇論)

在數學裏的範疇論中，極限（英語：Limit）的概念融貫了多種構造，包括和、積等等；範疇論中許多泛性質也可從極限來理解。

極限分為極限與餘極限（又稱上極限），彼此的定義相對偶。在不同場合的別名及英譯如下表：

餘極限/上極限（colimit）	正（向）極限（direct limit）	歸納極限（inductive limit）
極限（limit）	逆（向）極限（inverse limit）	投射極限/射影極限（projective limit）

本條目用語取歸納極限與射影極限。

定義

一範疇 C 中的極限及上極限可用 C 中的圖示來定義。形式上，C 中類型 J 的圖示是指一個由 J 映射至 C 的函子：

F : J → C.

範疇 J 稱之為「索引範疇」，圖示 F 可想做是以 J 索引 C 內的物件及態射。J 實際的物件及態射為何並不重要，關鍵在於之間的互動。

通常，最感興趣的情況是當類型J為小範疇或有限範疇之時，此類圖示分別被稱為「小圖示」及「有限圖示」。

極限

設 F : J → C 為一個在範疇 C 中類型 J 的圖示。一個對應於 F 的「錐體」是指 C 中的一物件 N ，具有可以 J 內之物件 X 索引的態射族 ψ_X : N → F(X)，使得對每個 J 內的態射 f : X → Y，均有 F(f) o ψ_X = ψ_Y。

圖示 F : J → C 的極限是一個對應於 F 的錐體 (L, φ)，使得對所有其他對應於 F 之錐體 (N, ψ)，總存在一個「唯一的」態射 u : N → L，使得對所有 J 中的 X，φ_X o u = ψ_X。

可以說，錐體 (N, ψ) 能被唯一的因子 u 分解成錐體 (L, φ)。此一態射 u 有時稱為「中介態射」。

極限亦稱之為「泛錐體」，因為其所具有之泛性質（詳見下文）。如同每個泛性質一般，上述定義敘述了一個有關一般性的對稱狀態：極限物件 L 夠一般，能讓所有其他錐體分解；另一方面，L 也必須夠特殊，每個錐體都只可能有「一個」因子。

極限也可視為是在對應於 F 的錐體範疇內的終對象。

圖示可能不存在極限；但若一個圖示存在極限，則此一極限一定是唯一的：在同構下是唯一的。

上極限

極限及錐體的對偶概念是上極限及上錐體。雖然可直接將上述定義的所有態射反轉，以得到上極限及上錐體之定義，但下文仍將明確敘明之：

圖示 F : J → C 的「上錐體是指 C 中的一物件 N，具有可以每個 J 中的物件 X 索引的態射族

ψ_X : F(X) → N

使得對每個 J 內的態射 f : X → Y，均有 ψ_Y o F(f)= ψ_X。

圖示 F : J → C 的上極限是 F 的上錐體 (L, $\phi$ )，使得對所有其他對應於 F 的上錐體 (N, ψ)，總存在一個「唯一的」態射 u : L → N，使得對所有 J 中的 X，u o $\phi$ _X = ψ_X。

上極限也稱為「泛上錐體」，也可視為是在對應於 F 的上錐體範疇內的始對象。

如同極限一般，若圖示 F 存在上極限，則此上極限在同構下是唯一的。

歸納系統與射影系統

以下固定一個範疇 ${\mathcal {C}}$ ，並探討其中的極限。為避免集合的悖論，我們將固定一個宇宙 ${\mathcal {U}}$ ，並假定 ${\mathcal {C}}$ 是 ${\mathcal {U}}$ -範疇，即：對任意兩個對象 $X,Y$ ，態射集 $\mathrm {Hom} _{\mathcal {C}}(X,Y)$ 同構於 ${\mathcal {U}}$ 裏的某個集合。 $\mathbf {Set}$ 表所有 ${\mathcal {U}}$ 裏的集合構成的範疇。

設 $I$ 為對 ${\mathcal {U}}$ 的一個小範疇，所謂歸納系統（或稱I-圖）係指一個函子 $\alpha :I\rightarrow {\mathcal {C}}$ ，射影系統則指一函子 $\beta :I^{\mathrm {op} }\rightarrow {\mathcal {C}}$ 。

形象地說，歸納系統不外是給定 ${\mathcal {C}}$ 中一族對象 $\{X_{i}:i\in I\}$ ，對每個態射 $i\rightarrow j$ 都有 ${\mathcal {C}}$ 中對應的態射 $X_{i}\rightarrow X_{j}$ ，且此對應在態射的合成下不變。射影系統對應的態射則反向： $X_{i}\leftarrow X_{j}$ 。

固定一對象 $X\in {\mathcal {C}}$ ，對任意歸納系統α或射影系統β，可定義從 $I^{\mathrm {op} }$ 到 $\mathbf {Set}$ 的函子

\mathrm {Hom} _{\mathcal {C}}(\alpha ,X):i\mapsto \mathrm {Hom} (\alpha (i),X)

\mathrm {Hom} _{\mathcal {C}}(X,\beta ):i\mapsto \mathrm {Hom} (X,\beta (i))

我們將遵循可表函子的哲學，從集合的射影極限出發。暫設 ${\mathcal {C}}=\mathbf {Set}$ ， $\mathbf {Set}$ 上的歸納系統不外是 $I$ 上的預層。給定一個歸納系統β，定義：

\varprojlim \beta :=\{(x_{i})\in \prod _{i\in I}\beta (i):\forall i,j\in I,s\in \mathrm {Hom} (i,j)\;\beta (s)(x_{j})=x_{i}\}

（注意：若

I

是空範疇，對應的射影極限是單元素集合。）

可手工驗證下述自然同構：

\mathrm {Hom} _{\mathbf {Set} }(X,\varprojlim \beta ){\stackrel {\sim }{\rightarrow }}\varprojlim \mathrm {Hom} _{\mathbf {Set} }(X,\beta )

若干例子

始對象與終對象

令 $I$ 為空範疇，此時的歸納極限與射影極限（若存在）便分別滿足泛性質

\forall X\in {\mathcal {C}},|\mathrm {Hom} (X,\varprojlim \emptyset )|=|\mathrm {Hom} (\varinjlim \emptyset ,X)|=1

這不外就是 ${\mathcal {C}}$ 裏的始對象與終對象。

纖維積與纖維餘積

令 $I$ 為離散範疇（即：其間只有恆等態射），此時歸納及射影系統不外只是一族 ${\mathcal {C}}$ 的對象 $\{X_{i}:i\in I\}$ ，對應的歸納極限及射影極限稱作餘積（又稱上積）與積。

令 $I$ 為範疇 $\bullet \longleftarrow \bullet \longrightarrow \bullet$ ；設 $\alpha :I\rightarrow {\mathcal {C}}$ 對應於 $Y_{1}{\stackrel {f_{1}}{\longleftarrow }}X{\stackrel {f_{2}}{\longrightarrow }}Y_{2}$ 。若其歸納極限存在，稱之 $Y_{1},Y_{2}$ 對 $X$ 的纖維餘積，寫作 $Y_{1}\sqcup _{X}Y_{2}$ 。

對偶地看，對於 $\beta :I^{\mathrm {op} }\rightarrow {\mathcal {C}}$ ，對應於 $X_{1}{\stackrel {f_{1}}{\longrightarrow }}Y{\stackrel {f_{2}}{\longleftarrow }}X_{2}$ ，若其射影極限存在，稱之 $X_{1},X_{2}$ 對 $Y$ 的纖維積，寫作 $X_{1}\times _{Y}X_{2}$ 。

纖維積與纖維餘積可視為「相對」版本的積與餘積。若存在終對象（或始對象），則積（或餘積）可視為對該對象的纖維積（或纖維餘積）。

核與上核

核（kernel）與餘核（cokernel，又譯上核），有時也稱等化子（equalizer）與餘等化子（coequalizer）。考慮對應到 $X_{0}{\overset {f}{\underset {g}{\rightrightarrows }}}X_{1}$ 的歸納或射影系統，此時的歸納極限 $\mathrm {Coker} (f,g)$ 稱作上核，射影極限 $\mathrm {Ker} (f,g)$ 稱作核。它們的泛性質圖解如下：